Задача 4.2.Проверка гипотезы о нормальном законе распределения вероятности появления результатов измерения и их погрешностей при малом числе результатов
При малом числе результатов 11<n<50 нормальность распределения проверяется обязательным соответствием данного распределения двум критериям.
Первый критерий – статистика d
Таблица 1.9
Результаты расчетов
Номер интервала, i |
Середина интервала, хi , мм |
Частота, mi |
xi-X , мм
|
Нормированное отклонение t = (xi-X) / 6 |
Плотность нормированного распределения p(ti) Приложение.2 |
Плотность в середине интервала p(xi)=p(ti) / 6 |
Теоретическая вероятность nPi= ∆ xi p(xi)n |
Отклонение χi 2 |
1 |
8,912 |
1 |
-0,00736 |
-2,53 |
0,0163 |
5,8 |
1,16 |
0,018 |
2 |
8,914 |
5 |
-0,00536 |
-1,92 |
0,0632 |
22,6 |
4,52 |
|
3 |
8,916 |
14 |
-0,00336 |
-1,20 |
0,1942 |
69,5 |
13,9 |
0,007 |
4 |
8,918 |
27 |
-0,00136 |
-0,49 |
0,3546 |
126,7 |
25,34 |
0,109 |
5 |
8,920 |
24 |
+0,00064 |
+0,23 |
0,3885 |
138,8 |
27,76 |
0,509 |
6 |
8,922 |
18 |
+0,00264 |
+0,94 |
0,2558 |
91,3 |
18,26 |
0,004 |
7 |
8,924 |
9 |
+0,00464 |
+1,66 |
0,1006 |
36,0 |
7,2 |
0,4850 |
8 |
8,926 |
2 |
+0,00664 |
+2,37 |
0,0241 |
8,6 |
1,72 |
. (1.12)
При выбранном уровне значимости q1
должно выполняться условие
Граничные значения статистик определяют по Приложению 4.
Второй критерий – условие
,
где m1 – число
разностей, которые соответствуют условию
;
-
среднеквадратическое отклонение;
-
квантиль интегральной функции Ф
нормированного нормального распределения,
его величина приведена в Приложении 5
, причем,
; Р2 - доверительная вероятность
для второго критерия,
, m
– граничное число разностей, зависящее
от уровня значимости и количества
результатов (Приложение 6).
Пример 4.2. Изготовлены детали. Одним из наиболее важных параметров каждой из деталей является длина (мм). Проведено 19 измерений этого параметра, результаты приведены в таблице 1.10. Необходимо проверить нормальность распределения случайных погрешностей этого параметра.
Таблица 1.10
Результаты измерений длин деталей
хi , мм |
18,035 |
18,008 |
18,011 |
18,009 |
18,004 |
18,006 |
|
18,010 |
18,003 |
18,008 |
18,006 |
18,012 |
18,005 |
|
|
18,007 |
18,008 |
18,009 |
18,008 |
18,007 |
18,009 |
18,010 |
Решение:
Находим среднее арифметическое значение ,
Находим
для всех 19 значений, для записи
промежуточных результатов при расчетах
удобнее пользоваться таблицами любой
формы. Затем рассчитывают
. В
данном случае эта сумма равна 0,036 мм.
Находим
. В
данном случае
.
Статистика будет равна
.
Задаем уровень значимости
.
Для нахождения граничных значений
статистик используем Приложение 4.
Строки n=19 в таблице
нет, соседние строки имеют вид
.
Используем линейную интерполяцию
;
.
Условие
имеет вид
Первый критерий выполняется.
Проверяем второй критерий.
В соответствии с выражением (1.3) =0,028мм. Задаем уровень значимости второго критерия q2=0,02.
Используя Приложение 6, находим
,
тогда
По Приложению 5 находим
, учитывая, что
.
Далее рассчитываем произведение
Просматриваем величины разностей
и убеждаемся, что ни одна разность не
превосходит 0,0072, хотя одно из этих
значений могло превзойти 0,0072, так как
m=1.
Второй критерий также выполняется.
Таким образом, при уровне значимости
результаты измерений подчиняются
нормальному закону распределения.
Индивидуальные задания к задаче 4.
Вариант 4.1.
а). При проверке кинокопировального аппарата прерывистой печати методом двукратной экспозиции для кольца кинопленки из 90 кадров получены следующие значения вертикальной неустойчивости в кадровом окне. Проверить нормальность распределения данной погрешности. Результаты измерений (хi , мм) приведены в таблице 1.11.
Таблица 1.11
Результаты измерений вертикальной неустойчивости
10 |
6 |
10 |
9 |
7 |
11 |
8 |
5 |
7 |
12 |
8 |
12 |
11 |
10 |
9 |
6 |
9 |
4 |
8 |
10 |
8 |
6 |
8 |
5 |
11 |
10 |
6 |
2 |
4 |
6 |
7 |
9 |
8 |
9 |
7 |
7 |
9 |
15 |
2 |
8 |
7 |
6 |
7 |
4 |
6 |
7 |
4 |
13 |
10 |
9 |
12 |
10 |
9 |
12 |
14 |
8 |
9 |
12 |
14 |
10 |
8 |
8 |
9 |
7 |
6 |
7 |
9 |
10 |
6 |
9 |
5 |
5 |
6 |
10 |
10 |
10 |
6 |
7 |
8 |
6 |
10 |
2 |
9 |
8 |
6 |
4 |
10 |
10 |
9 |
12 |
б). Проведено 16 измерений шага зуба (хi , мм) зубчатого барабана. Полученные значения приведены в таблице 1.12. Проверить нормальность распределения данной погрешности.
Таблица 1.12
Результаты измерений шага зуба
4,72 |
4,71 |
4,73 |
4,74 |
4,70 |
4,72 |
4,74 |
4,73 |
4,70 |
4,74 |
4,71 |
4,69 |
4,72 |
4,70 |
4,71 |
4,72 |
Вариант 4.2.
а). Была произведена партия двояковыпуклых линз для объектива, при измерении толщин линз получены результаты, приведенные в таблице 1.13. Необходимо проверить гипотезу о нормальности распределения погрешностей изготовления толщин линз.
Таблица 1.13
Результаты измерений толщин линз
12,10 12,20 12,15 11,97 12,00 12,15 12,11 12,00 11,98 12,07 |
12,11 12,03 12,10 12,05 12,10 12,01 11,89 12,08 11,85 12,00 |
12,05 11,96 12,11 12,11 12,00 11,93 11,97 12,08 12,00 11,95 |
11,90 11,95 12,00 12,02 12,05 11,98 12,02 11,99 11,91 12,09 |
11,95 11,97 12,07 12,00 11,98 12,10 12,02 12,00 11,90 12,00 |
б). При проверке шага грейфера 35-мм кинокопировального аппарата прерывистой печати получены результаты, приведенные в табл. 1.14. Проверить нормальность распределения данной погрешности.
Таблица 1.14
Результаты измерений шага грейфера
Хi , мм |
19,005 19,000 19,003 18,995 19,001 19,000 18,999 18,998 |
19,002 19,001 18,999 18,996 19,000 18,998 18,999 19,001 |