Задача 17. Определение коэффициента корреляции при выборках большого объема

Для того чтобы определить тесноту взаимосвязи между двумя случайными величинами при выборках большого объема ( ) целесообразно использовать методику с построением корреляционной табл. 3.9 [33-34]. В этой таблице приводят:

- интервалы, на которые разбивают диапазоны переменных, ширину интервалов обозначают и ;

- середины диапазона ; середины интервалов ;

- значения случайных переменных

. (3.56)

По горизонтали табл. 3.9 откладывают значения одной переменной, по вертикали – второй.

Затем определяют эмпирический коэффициент корреляции

,

(3,57)

где n- число результатов; - количество парных сочетаний параметров; - суммы частот по отдельным столбцам и строкам таблицы.

Пример 17. Определить коэффициент корреляции между случайными величинами размеров двух деталей, обрабатываемых одновременно на одном станке. После обработки каждой пары деталей проводились измерения, результаты которых занесены в таблицу 3.9.

Решение:

В каждом ряду отыскиваем минимальные и максимальные значения . Выберем ширину интервала для и Построим корреляционную таблицу (табл. 3.9), как было сказано выше.

Заполняем таблицу следующим образом: берем первый результат измерений – пара деталей 21,867-21,852. По горизонтали находим интервал, содержащий 21,867, по вертикали – 21,852. На пересечении этих координат ставим точку (палочку, галочку). Так поступаем со всеми парами измерений. После заполнения таблицы вычисляем частоты встречаемости всех различных пар значений и , заменяем точки на их количество.

Промежуточные расчеты

приведены в последних строчках и последних столбцах таблицы. Равенство служит для контроля правильности вычислений и .

Подставляя полученные в корреляционной таблице значения в формулу (3.57), получим

.

Таблица 3.9 более удобна для проведения расчетов, когда она построена как электронная таблица.

Существенно ли отличие полученного значения коэффициента от 0, можно определить с помощью критерия Фишера (3.49).

В Приложении 11 значению соответствует , среднеквадратическое отклонение величины составляет (3.50)

,

т.е., например, при вероятности .

,

что в соответствии определяет интервал теоретического значения коэффициента корреляции с надежностью 0,95

.

Для ответа на вопрос о существенности коэффициента корреляции можно поступить также следующим образом.

Поскольку среднеквадратическое отклонение определяет ширину поля рассеяния распределенной по нормальному закону величины , можно найти квантиль этого распределения

, (3.58)

в данном примере .

Интеграл вероятности при этом равен (Приложение 12).

Вероятность того, что отклонение от 0 случайно, т.е. величины и некоррелированы , т.е.

В том случае, когда , значения можно считать случайными, а исследуемые величины некоррелированными. В рассматриваемом случае величины коррелированы.

Индивидуальные задания к задаче 17.

Вариант 17. Определить коэффициент корреляции между диаметрами оправ линз фотообъектива, измеренными в двух взаимно перпендикулярных сечениях. Результаты измерений приведены в таблице 3.10.

Таблица 3.10

Результаты измерений диаметров оправ линз

	1	2	3	4	5
у х	20,871 20,862	20,873 20,864	20,870 20,861	20,875 20,870	20,874 20,865
у х	20,870 20,860	20,874 20,864	20,873 20,863	20,878 20,871	20,870 20,861
у х	20,874 20,870	20,876 20,869	20,871 20,861	20,875 20,870	20,870 20,861
	6	7	8	9	10
у х	20,872 20,860	20,875 20,869	20,871 20,860	20,873 20,863	20,876 20,870
у х	20,875 20,870	20,872 20,862	20,876 20,870	20,873 20,862	20,870 20,862
у х	20,874 20,868	20,873 20,864	20,872 20,863	20,876 20,871	20,870 20,861