Задача 4. Проверка гипотезы о законе распределения
В любом случае при анализе случайных
результатов необходимо знать, какому
теоретическому закону распределения
случайных величин соответствует
эмпирическое распределение этих
результатов. Для этого, исходя из формы
эмпирической кривой распределения,
выдвигается гипотеза о соответствии
ее тому или иному теоретическому закону
распределения. Соответствие эмпирического
распределения предполагаемому
теоретическому закону устанавливается
с помощью критериев
,
Колмогорова и др.
Оценка точности результатов измерения является более простой, поскольку требует расчета лишь двух статистических параметров: математического ожидания (среднего арифметического значения) и дисперсии (среднеквадратического отклонения). Поэтому исключительно важной является проверка гипотезы о нормальности распределения.
Задача 4.1. Проверка гипотезы о нормальности закона распределения вероятности появления результатов измерений и их погрешностей при большом число результатов
Вид закона распределения вероятности может быть определен графически и аналитически. Аналитически вид распределения определяется при сравнении параметров данного (эмпирического) и теоретического распределений.
При проверке гипотезы о нормальности распределения проверяют равенство среднего арифметического и дисперсии эмпирического распределения математическому ожиданию и дисперсии нормального распределения.
Мера расхождения по Пирсону обозначается (критерий согласия)
, (1.11)
где
,
- частоты, равные числу результатов в
каждом интервале, меньших или равных
его правой или больших левой границы;
- общее число результатов; 
- теоретическая вероятность; 
- ширина интервала; 
- плотности в серединах интервалов; 
- плотности нормированного распределения,
определяются по табл. Приложения 2 по
;
- нормированное отклонение от среднего
арифметического; 
- среднее арифметическое; 
- среднеквадратическое отклонение;
- число интервалов.
Для каждого интервала вычисляют величины
,
суммируют, находят меру расхождения
.
Если в интервал входят 5 и меньше
значений, этот интервал объединяют с
соседним.
Определяют число степеней свободы
, где
- число разрядов гистограммы; 
- число независимых связей, к ним
относятся: равенство среднего
арифметического эмпирического и
теоретического распределений; равенство
математических ожиданий; равенство
суммы частностей единице.
Все три условия в данном случае имеют место,
поэтому
.
Задают уровень значимости
, где 
- принятая доверительная вероятность
(надежность).
По табл. Приложения 3 находят значения
и
.
Если
≤
≤
,
то распределение считается нормальным.
Пример 4.1. Проверить нормальность распределения 100 результатов измерений среднего диаметра резьбового калибра. Результаты измерений приведены в таблице 1.8.
Таблица 1.8
Результаты измерений среднего диаметра резьбового калибра
Номер интервала |
хi min , мм |
хi max , мм |
Частоты mi |
Частости
|
1 |
8,911 |
8,913 |
1 |
0,01 |
2 |
8,913 |
8,915 |
5 |
0,05 |
3 |
8,915 |
8,917 |
14 |
0,14 |
4 |
8,917 |
8,919 |
27 |
0,27 |
5 |
8,919 |
8,921 |
24 |
0,24 |
6 |
8,921 |
8,923 |
18 |
0,18 |
7 |
8,923 |
8,925 |
9 |
0,09 |
r=8 |
8,925 |
8,927 |
2 |
0,02 |
Решение:
Диапазон значений составляет от 8,911 до
8,927 мм. Этот диапазон разбит на 8 интервалов
шириной 0,002 мм. В каждом интервале
рассчитывают частости
. Рассчитывают среднее арифметическое
значение (1.1)
Вычисляют среднеквадратическое значение
(1.3)
Далее для расчета критериев согласия по интервалам и суммарного критерия согласия составляют и заполняют табл. 1.9.
Число степеней свободы в данном случае равно
,
так как два интервала были объединены, а число независимых связей s=3.
Задаем уровень значимости q1=0,1 (при уровне надежности Р=0,9). По табл. Приложения 3 находим граничные значения отклонений
;
.
Условие 0,352<1,125<7,815 выполнено, следовательно, распределение можно считать нормальным.