2. Анализ, оценка и регулирование точности методами математической статистики

В процессе изготовления деталей и узлов киновидеотехники в результате действия большого числа производственных факторов (отклонений припусков заготовок, сил резания, износа инструмента и элементов оборудования, неточности установки деталей при обработке, погрешностей используемых методов и средств измерений и т.д.) возникают погрешности размеров, формы, взаимного расположения поверхностей, физико-механических свойств, выходных качественных характеристик и т.д. Поэтому даже изделия, изготовленные по одному и тому же технологическому процессу, неизбежно отличаются друг от друга и от проектируемого прототипа по всем качественным параметрам.

Задача 1. Оценка технологической точности деталей и изделий киновидеотехники по полю рассеяния параметров

Точность получения любого геометрического, технического параметра, качественной характеристики характеризуется полем рассеяния, ширина которого равна разности между максимальным и минимальным значениями данной характеристики для партии изделий.

Погрешности, возникшие в ходе технологического процесса, являются случайными , принимающими любые значения в границах поля рассеяния, и систематическими. Для оценки случайных погрешностей используют вероятностно- статистические методы, причем, решается задача об оценке вероятности появления погрешностей, не превышающих определенную заданную величину. Для такой оценки необходимо знать закон распределения случайной величины (в данном случае – параметра или его погрешности), т.е. взаимосвязь между возможными значениями погрешностей и соответствующими им вероятностями. Количественно вероятности появления случайных событий определяются интегральными функциями распределения вероятностей . На практике чаще пользуются производной от интегральной функции распределения, эту производную называют дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения вероятности .

Если исследуемая величина является суммой большого количества независимых случайных слагаемых, часто с большой вероятностью можно полагать, что распределение этой величины подчиняется нормальному закону распределения.

В табл. 1.1 приведены наиболее часто встречающиеся при производстве изделий киновидеотехники законы распределения параметров и их погрешностей.

Кривая плотности нормального распределения f(x) , приведенная в таблице 1.1, описывается выражением

,

где - математическое ожидание случайной величины , в практических расчетах , где - среднее арифметическое случайной величины ;

- среднеквадратическое отклонение случайных величин от , определяющее ширину поля рассеяния; - число результатов измерений.

Погрешности, возникшие в процессе изготовления изделий киновидеотехники, а также в результате измерений и контроля, имеют не только случайный, но и систематический характер Соответственно, все погрешности параметров деталей, узлов и изделий киновидеотехники делят на систематические и случайные.

Систематические погрешности – это погрешности, остающиеся постоянными или плавно изменяющиеся во времени, например, при измерении всех деталей партии, изготовленных при одинаковых условиях. Например, если сбивается настройка «на ноль» прибора, появляется закономерно изменяющаяся во времени погрешность, причем это изменение можно описать математическим выражением.

Численное значение систематической погрешности может быть найдено как разность

Таблица 1.1

Виды распределений параметров деталей и изделий киновидеотехники

Вид распределения	Характеристика распределения
Нормальное	Поле допуска при вероятности 0,9973. Образуется, если действуют более шести независимых факторов, одинаковых по влиянию.
Усеченное нормальное	Поле допуска меньше границ рассеяния. Точность оборудования не соответствует установленным допускам.
Рэлея	Поле допуска совпадает с зоной рассеяния . Образуется для положительных величин (эксцентриситетов, зазоров, расстояний между точками).

между математическим ожиданием и (номинальным) значением исследуемой величины

.

Случайные погрешности – погрешности, которые не остаются постоянными при многократных измерениях. Именно случайные погрешности определяют ширину поля рассеяния.

На практике параметры поля рассеяния определяют математической обработкой ограниченного числа результатов, называемого выборкой. Для построения эмпирических кривых рассеяния (распределения) необходимо поле рассеяния разбить на интервалов. При небольших выборках рекомендуется выбирать количество интервалов в зависимости от объема выборки

n:	40…100	100…500	500…10000
r:	7…9	8…12	10…16.

Размер интервала при разбиении зоны рассеяния действительных размеров нужно брать минимально возможным, с учетом цены деления измерительного прибора.

Число результатов, попавших в заданный интервал, называют частотой . Отношение частоты к общему числу результатов называют частостями.

Для построения плотности распределения вероятности (кривой распределения) по оси абсцисс откладывают значения измеряемого параметра или его погрешности через определенные интервалы, по оси ординат – количество значений величин, попадающих в интервалы (частоты или частости ). Если полученная зависимость графически представлена столбчатой диаграммой, ее называют гистограммой, ломаная линия, соединяющая середины столбиков, образованных частотами и интервалами, гистограммы, называется полигоном частот или эмпирической кривой распределения. При большом количестве результатов измерений и большом числе интервалов характер эмпирической кривой в некоторой степени соответствует форме кривой распределения.

Пример 1. Определить точность изготовления отверстия в корпусе под втулку подшипника скольжения тонвала магнитофона по измеренным N=100 значениям, номинальное значение размера .

Решение:

1. Полученные результаты необходимо сгруппировать по одинаковым значениям и их частотам . Эти величины внесены в таблицу 1.2. В эту таблицу удобно вносить и результаты промежуточных расчетов. Для упрощения расчетов эта таблица может быть электронной (Excel).

Таблица 1.2

Исходные данные и результаты промежуточных расчетов

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Диаметр отверстия, , мм	9,95	9,96	9,98	10,00	10,01	10,02	10,03	10.04	10,05
Частоты mi	2	5	9	18	22	25	12	4	3
Отклонения xi- , мм	0,05	0,04	0,02	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05
mi (xi- )	0,10	0,20	0,18	0	0,22	0,50	0,36	0,16	0,15
(xi- )2	0,0025	0,0016	0,0004	0	0,0001	0,0004	0,0009	0,0016	0,0025
mi(xi- )2	0,005	0,008	0,004	0	0,002	0,01	0,011	0,006	0,007
	0,02	0,05	0,09	0,18	0,22	0,25	0,12	0,04	0,03

2. Рассчитывается среднее арифметическое значение результатов измерений

, (1.1)

где r=9.

Полученное значение должно быть округлено так, чтобы количество знаков было таким же, как и для результатов измерения, поскольку математическая обработка результатов не может повысить точность.

3. Рассчитывается систематическая погрешность изготовления

.

Систематическая погрешность всегда имеет знак.

4. Рассчитывается среднеквадратическое отклонение

. (1.3)

Когда число результатов измерений , вместо в формуле берется .

Промежуточные результаты приведены

в таблице 1.2.

5. Случайная погрешность с принятой вероятностью при нормальном законе распределения составляет

при	Р=0,65	,
	Р =0,95	, (1.4)
	Р=0,9973	.

6. Эмпирическая кривая распределения результатов в выборке и дифференциальная функция распределения вероятности (плотность распределения вероятности) изображены на рис. 1.1.

7. Определяются погрешности изготовления диаметра отверстия.

С вероятностью P=0,9973 случайная погрешность будет равна и величина диаметра отверстия будет составлять , т.к. размеры будут лежать в интервале 9,95…10,07мм.

С вероятностью Р=0,95 случайная погрешность будет равна и величина диаметра отверстия будет составлять , т.е. размеры будут лежать в интервале 9,97…10,05мм. С вероятностью Р=0,65 случайная погрешность будет равна и величина диаметра отверстия будет составлять , т.е.размеры будут лежать в интервале 9,99…10,03мм. Несимметричное распределение отклонений имеет место из-за присутствия систематической погрешности

Индивидуальные задания к задаче 1.

Вариант 1.1. Определить точность изготовления диаметра ведущего вала магнитофона с номинальным

Рис. 1.1. Эмпирическая кривая распределения

размером 6 мм. Выполнено 100 измерений, результаты измерений приведены в таблице 1.3.

Таблица 1.3

Результаты измерений диаметра ведущего вала магнитофона

Результаты измерений xi, мм	Частоты, mi
5,996	4
5,997	9
5,999	15
6,000	21
6,001	26
6,002	12
6,003	8
6,005	5

Вариант 1.2. Определить точность изготовления диаметра оправы объектива с номинальным диаметром 53 мм. Проведено 100 измерений этого диаметра, результаты приведены в таблице 1.4.

Таблица 1.4

Результаты измерений диаметра оправы объектива

Результаты измерений xi, мм	Частоты mi
52,75	1
52,80	5
52,86	11
52,90	15
53,00	18
53,10	20
53,15	19
53,20	9
53,25	2