Задача 2. Статистический контроль точности технологических процессов изготовления деталей и изделий киновидеотехники

Статистический контроль точности предназначен для установления соответствия между заданными значениями параметров и их реальными значениями на основе выборочного контроля. Если выборочный контроль недостаточен, тогда проводят сплошной контроль. Если выборочный контроль возможен, он имеет такие преимущества, как большая производительность, меньшие затраты, часто более высокая точность. Однако при внедрении автоматизированного контроля при переходе на сплошной контроль с использованием электронно- измерительных средств эти преимущества утрачивают свое значение [4].

Методы статистического контроля точности производственных процессов классифицируют по таким критериям, как место контроля в процессе производства (контроль производственного процесса – statistical process control, приемочный контроль – acceptance sampling) и способ оценки параметра, подлежащего контролю (измерительный контроль, т.е. контроль по количественному признаку – inspection by variables, контроль по качественному признаку, т.е. по альтернативному признаку – inspection by attributes) [5-8].

При контроле по количественному признаку оценка качества происходит на основе результатов измерения или по показателям, которые получают путем обработки результатов измерений [9]. При контроле по качественному признаку изделия делят на две группы, т.е. годные и негодные («брак»). К контролю по качественному признаку относится также контроль количества дефектов, который позволяет оценить качество всей партии или производственного процесса. В этом случае признаком качества является накопленное число дефектов в выборке. Контроль по альтернативному признаку можно использовать для неизмеримых параметров всегда и для измеримых, когда нет необходимости в точном значении результата измерения и достаточно лишь установить, находится ли результат в допустимых границах.

Выбор метода контроля зависит от технологических, технических и экономических возможностей конкретного предприятия. Однако следует иметь в виду, что контроль по качественному признаку при заданной достоверности требует большего объема выборок, чем измерительный контроль.

Для контроля качества серийно выпускаемых сложных изделий, как правило, применяется выборочный измерительный многопараметрический контроль. При этом из партии изделий делается некоторая выборка и измеряются значения нескольких характеризующих качество параметров, которые затем сравниваются с установленными нормативной документацией допустимыми значениями [10]. Используемая при этом модель выборочного измерительного многопараметрического контроля позволяет определить необходимый объем случайной выборки, требуемую точность измерения каждого контролируемого параметра, целесообразные коэффициенты сужения допусков параметров, применяемые для повышения надежности контроля и т.д.

Необходимо иметь в виду, что статистический приемочный контроль точности предназначен для принятия решения в отношении партии изделий с точки зрения признания ее удовлетворительной или неудовлетворительной. Приемлемая партия – это партия с низким уровнем несоответствий (дефектности), неприемлемая – с высоки уровнем дефектности, о нулевом уровне дефектности речь идти не может, так как контроль выборочный [11].

При статистическом контроле точности необходимо иметь дело с представительными (репрезентативными) выборками, т.е. такими, которые при составлении которых из каждой части контролируемой партии отбирают такое число изделий, чтобы в достаточной степени отразить свойства данной совокупности в целом. Методика проведения контроля называется планом контроля, она включает сведения о виде контроля, объемах контролируемой партии, выборок, о требованиях нормативных документах и решающих правилах [12-16].

Основным инструментом статистического производственного контроля являются карты контроля качества или контрольные карты (control chart). Наиболее известны классические контрольные карты Шухарта. Они представляют собой формуляр, в который заносятся в хронологической последовательности в графической форме результаты контроля. На карты наносят предельные значения контролируемых величин. Если результат контроля лежит вне этих границ, то должны быть приняты четко определенные меры, направленные на повышение точности процесса производства, например, за счет организации контроля. Разновидностью контрольных карт являются Кусум- карты (cumulative sum control chart), они более чувствительны к малым и медленным изменениям определенных параметров за счет постоянного накопления отклонений измеряемых величин от заданных значений. При использовании таких карт основой для принятия решения по управлению процессом являются значения характеристик, вычисленные с использованием всех ранее накопленных отклонений.

Статистическим инструментом приемочного контроля является план контроля. Он содержит информацию о количестве выборок, которое нужно взять из данной партии, об объеме выборок, об условиях, при которых принимается данная партия.

При статистическом контроле качества технологических процессов изготовления изделий киновидеотехники чаще всего имеют дело не с непрерывными случайными величинами, о которых говорилось в предыдущей задаче, а с дискретными. Примером дискретной величины может быть, например, число дефектных деталей в выборке, параметры которых не соответствуют тем или иным требованиям. Причем, это число может быть только целым, не может принимать дробных значений.

Хотя само появление дефектного изделия (детали) является случайным, распределение вероятности этой случайной величины чаще всего подчиняется какой-то закономерности. Распределение вероятностей появления дискретных величин описывается, как правило, либо гипергеометрическим, либо биномиальным законами, либо законом Пуассона.

При гипергеометрическом законе вероятность появления числа дефектных изделий в выборке с числом деталей описывается следующим выражением

, (1.5)

где - объем партии изделий; - число дефектных изделий в партии; - число сочетаний из по ; - число сочетаний из по ; - число сочетаний из по .

Величины - постоянные, а является случайной переменной.

При гипергеометрический закон стремится к биномиальному закону, в соответствии с которым вероятность появления дефектных изделий (их количество - d) в выборке объемом составляет

, (1.6)

где - число сочетаний из по ;

- характеристика контролируемой партии.

При биномиальный закон распределения совпадает с законом Пуассона. При этом вероятность появления дефектных изделий (их количество - ) в выборке объемом равно , (1.7)

где - положительная величина, называемая параметром Пуассона.

Пример 2.1. Партия изготовленных зубчатых барабанов кинопроектора составляет N=250 изделий. В контролируемой партии оказалось 50% дефектных барабанов. Найти вероятность того, что в выборке объемом n=3 число дефектных барабанов составит d=0, 1, 2, 3.

Решение:

В данном примере , поэтому считаем, что случайная величина подчиняется биномиальному закону распределения (1.6). Вероятность того, что в выборке объемом n=3 не появится ни одной дефектной детали

,

.

Вероятность того, что в данной выборке появится одна дефектная деталь

,

.

Аналогично

,

,

,

.

Полученные результаты графически представлены на рис.1.2.

Рис.1.2. Распределение вероятности появления дефектных зубчатых барабанов кинопроектора в контролируемой выборке

В соответствии с полученными результатами, вероятность того, что в выборке не будет дефектных деталей или вся выборка окажется дефектной, составляет 12,5%, с вероятность 50% в контролируемой выборке окажутся 1 или 2 бракованных зубчатых барабана. Очевидно, что производственный процесс имеет низкую точность, но принятие решения о принятии технологических или организационных мер должно быть основано на подробном анализе возникающих дефектов и сопоставлении затрат на исправление дефектов и переоснащение процесса.

Пример 2.2.. Сдается партия магнитных головок N=200. Из этой партии взята выборка n=10. Заранее известно, что число потенциально надежных головок мало (Q=0,1). Найти вероятность того, что в выборке не будет дефектных головок, появится одна, две и т.д. до десяти.

Решение:

В данном случае для расчетов применим закон Пуассона (1.7), так как

В этом случае

,

,

и т.д.

Графическое изображение полученных результатов приведено на рис.1.3.

Рис.1.3. Распределение вероятности появления дефектных магнитных головок в контролируемой выборке.

Как видно из полученных результатов, условия контракта ( ), если максимальная вероятность ( ) приходится на то, что в выборке будет до 4 бракованных изделий.

Индивидуальные задания к задаче 2.

Вариант 2.1.

а). Выпущена партия объективов N=100, в этой партии 30% объективов оказались дефектными. Найти вероятности того, что в случайных выборках объемом n=4 число дефектных изделий окажется равным 0, 1, 2, 3, 4.

б). Из партии интегральных схем N=1000 взята выборка объемом n=50. Предполагается провести испытания этих схем, необходимо дать прогноз появления отказов в данной выборке. Предположительно характеристика технологического процесса составляет 0,05.

Вариант 2.2.

а). Объем выпущенной партии источников света К30-400 составляет 150 шт. Предполагают, что 20% ламп оказались дефектными. Найти вероятности того, что вся выборка объемом n=5 окажется дефектной, вероятности появления в этой выборке 0, 1, 2, 3, 4 дефектных источников света.

б). Испытывается партия микросхем объемом 2000 шт. В этой партии взята выборка n=60 шт. Необходимо дать прогноз появления отказов в данной выборке. Предполагают, что характеристика технологического процесса составляет 0,08.

Задача 3. Определение точности расчетом доверительных интервалов

Расчет доверительных интервалов, т.е. предельных значений погрешностей, возникающих при изготовлении деталей и узлов киновидеотехники, позволяет без построения кривых распределения оценить ширину поля рассеяния погрешностей.

Расчет доверительных интервалов позволяет оценить поле распределения результатов измерения и их погрешностей на основании ограниченного числа имеющихся экспериментальных данных. Приведем методику расчета доверительного интервала, когда результаты измерения подчиняются нормальному закону распределения.

В начале расчета задают необходимый уровень надежности . Эта надежность равна вероятности того, что разность между каждым случайным результатом и средним арифметическим всех результатов не превысит допустимого отклонения. Это отклонение и определяет ширину доверительного интервала 

 = P{X-x­ ≤} = P(X-  x  X+) = P(-∞< x X+) –P(-∞<x  X-) = F(X+) – F(X-). (1.8)

В то же время нормированная интегральная функция нормального распределения

, (1.9)

где первое слагаемое – половина интеграла Эйлера-Пуассона

, второе слагаемое – интеграл вероятности (табличное значение); - нормированный параметр распределения.

Подставим формулу (1,9), являющуюся табличным выражением нормированной интегральной функции нормального распределения, в формулу (1.8), тогда

где – квантиль нормированного нормального распределения (табличное значение).

Таким образом, .

В итоге, алгоритм расчета доверительного интервала следующий:

• задается уровень надежности γ, ;

• в таблице значений интеграла вероятности (Приложение 1) по находят ,

• рассчитывают ; значение погрешности будет лежать в интервале

.(1.10)

Приведенная методика расчета доверительных интервалов применяется при нормальном распределении параметров (значений геометрических параметров, значений физико- технических и выходных качественных характеристик, а также их погрешностей). При законах распределения, отличных от нормального, расчет доверительных интервалов усложняется [13].

Пример 3. Изготовлена партия валов, в этой партии была взята выборка из 10 деталей, для каждого вала сделано четыре измерения диаметра. Полученные результаты (мм) приведены в таблице. 1.5. Необходимо найти доверительный интервал для диаметра вала с надежностью 0,9.

Таблица 1. 5

Результаты измерений диаметров валов

10,01	10,07	10,03	10,05
10,02	9,91	9,94	10,01
9,98	9,99	10,06	9,99
10,03	10,00	9,97	10,03
9,95	10,01	10,02	10,04
10,00	10,02	9,98	9,97
10,07	9,99	10,04	10,06
10,10	10,05	10,03	9,94
9,80	9,96	9,94	10,07
9,96	9,99	10,01	9,98

Решение:

Распределение случайных величин, соответствующих диаметру вала, считаем нормальным на основании центральной предельной теоремы и эмпирических данных о том, что геометрические размеры чаще всего подчиняются нормальному закону распределения.

Рассчитываем среднее арифметическое значение полученных величин (1.1)

Рассчитываем среднеквадратическое значение (1.3)

Интеграл вероятности равен

По таблице нормального распределения интеграла вероятности (Приложение 1) необходимо подобрать квантиль, в данном случае .

Рассчитываем предельное отклонение (доверительный интервал) с помощью выражения с надежностью 0,9

Таким образом, с вероятностью 0,9 размеры диаметров валов будут лежать в интервале мм.

Индивидуальные задания к задаче 3.

Вариант 3.1. Изготовлена партия гладких барабанов к звукоблоку кинопроектора. При измерении диаметров опорных поясков получены величины радиальных биений , мм, приведенные в табл. 1.6. Определить доверительный интервал данной погрешности с надежностью 0,9.

Таблица 1.6

Результаты измерений радиальных биений опорных поясков

0,009	0,008	0,012	0,010	0,008	0,014
0,007	0,010	0,011	0,010	0,008	0,011
0,007	0,013	0,010	0,011	0,008	0,009
0,007	0,009	0,010	0,011	0,012	0,008
0,013	0,008	0,007	0,012	0,009	0,013

Вариант 3.2. Изготовлена партия зубчатых колес приводного механизма кинопроектора. При измерении биения диаметров , мм, вершин зубьев получены результаты, приведенные в табл. 1.7. Определить доверительный интервал биений с надежностью 0,9.

Таблица 1.7

Результаты измерений биения диаметров вершин зубьев зубчатых колес

0,016	0,010	0,026	0,011	0,019	0,008
0,020	0,008	0,020	0,019	0,030	0,004
0,009	0,011	0,017	0,015	0,011	0,016
0,008	0,009	0,010	0,015	0,013	0,008
0,006	0,010	0,015	0,016	0,020	0,003