Модели биологических процессов, описываемые системой дифференциальных уравнений

Рассмотрим некоторый ограниченный ареал, в котором обитают два вида. Пусть и – их численности. Будем считать, что в условиях неограниченного питания и отсутствия хищников каждый вид развивался бы по экспоненте, т.е.

где и –специфические (врожденные) скорости роста численностей.

В естественных условиях виды могут взаимодействовать друг с другом, и это взаимодействие меняет вид уравнений.

1. Виды конкурируют за одну и ту же пищу, запасы которой ограничены

– коэффициенты врожденной скорости роста численностей; –коэффициенты чувствительности к недостатку корма.

Найдем координаты особой точки

₁х - ₁хy = 0; x(_{1 -} - ₁y) = 0

₂у+ ₂хy = 0 y(₂ + ₂х) = 0

Т.к. все параметры положительны, точка расположена в положительном квадранте фазовой плоскости.

Т.к. запасы пищи не безграничны, то выедание ее приведет к голоданию и, это естественно предположить, к уменьшению скоростей роста популяций. Пусть -количество пищи, съедаемой представителями обоих видов за единицу времени. Характер этой функции ясен. Она должна стремиться к плюс бесконечности при неограниченном росте хотя бы одного аргумента и стремиться к нулю, когда оба аргумента стремятся к нулю. В простейшем случае можно положить:

,  0 , 0

С увеличением уменьшаются скорости роста популяций. Таким образом получим систему:

(1.1)

Коэффициенты и называются коэффициентами чувствительности к недостатку корма. Будем считать функцию достаточно гладкой (т.е. имеющей достаточно большое число производных). Поэтому система (4.1) удовлетворяет условиям теоремы о существовании единственности решения задачи Коши:

,

и - это значения численности видов в начальный момент времени.

Чтобы выяснить дальнейшие свойства решения системы (4) найдем ее первый интеграл. Для этого запишем систему:

Умножим первое на , а второе на и вычтем из первого второе

Интегрируем:

x,y–численности популяций в момент времени t; t₀=0.

(1.2)

Случай мало вероятен, поэтому не рассматривается.

1. Пусть , тогда

(1.3)

Тогда показатель у экспоненты в (4.2) будет положительным и при получим:

Так как ограничена, то последнее равенство может выполняться только тогда, когда при .

Если справедливо неравенство (1.3), т.е., если у второго вида скорость роста меньше и чувствительность к недостатку корма больше, чем у первого вида, то второй вид с течением времени исчезает. Можно показать, что первый вид при этом стабилизируется, т.е. численность стремится к некоторому отличному от нуля числу. Покажем это для простейшей функции: ,

Т.к. при то начиная с некоторого момента величина станет столь малой, что ею можно пренебречь и вместо в первом уравнении можно записать . Иными словами начиная с первое уравнение системы может быть записано в виде:

Это уравнение не отличается от уравнения логистического роста Ферхюльста- Перла. Его решение, при стремится к постоянной величине равной отношению коэффициентов , данном случае . Таким образом, при функция стабилизируется, стремясь к .

Итак, при любых начальных данных вид у которого отношение больше, выживает и стабилизируется; вид с меньшим отношением вымирает.

На рисунке изображен случай, когда начальная численность для больше предельного значения .Это совершенно необязательно. Из доказанного следует, что первый вид выживает и стабилизируется, каким бы малым ни было начальное значение , а второй вид погибнет, сколь бы ни была велика его численность в начальный момент .

Теперь представьте себе, что у нас имеется только один вид (однородный штамм) с некоторым отношением .В какой-то момент случайно появляется мутант с новым отношением больше прежнего. Тогда, согласно нашей теории, сколь бы мало ни было мутантов в начальный момент, со временем они вытеснят домутантную форму, а сами стабилизируются.