2. Изменение численности популяции описывается системой уравнений. Один вид ведет себя по отношению к другому как хищник Задание 3

Воспользуемся следующей системой дифференциальных уравнений:

где -коэффициент, характеризующий размножение жертв в отсутствии хищников;

- коэффициент, в соответствии с которым жертвы вымирают при отсутствии добычи.

Благодаря встречам жертв с хищниками (вероятность встречи пропорциональна произведению популяций) количество животных-жертв уменьшается с коэффициентом ₁, а количество хищников возрастает с коэффициентом ₂.

Решаем это уравнение в пакете Mathcad следующим образом:

:=0.2 :=0.3

₁:=0.001 ₂:=0.003

yb:=100 yr:=40 t0:=0 t1:=100 N:=4000

где: t0- начальный момент времени;

t1- конечный момент времени;

yb- начальная численность популяции жертв;

yr- начальная численность популяции хищников;

N - число шагов для численных расчетов;

Вводим вектор начальных значений численности популяции жертв и хищников:

Систему дифференциальных уравнений вводим в виде матрицы:

Для решения системы используем численный метод Рунге-Кутта (в используемой программе для этого предназначена специальная функция rkfixed)

Z:=rkfixed(Y,t0,t1,N-1,D)

t:=Z^<0> yb:= Z^<1> yr:=Z^<2>

Задание

1. Строим на одной координатной плоскости график изменения численности жертв и хищников во времени во времени.

2. Строим фазовый портрет системы (зависимость yb от yr). Сделайте вывод об устойчивости стационарного состояния в системе.

3. Рассмотрите соотношение численности хищников и жертв при различных коэффициентах изменения численности особей.

4. Изменяя начальные параметры модели рассмотрите следующие случаи:

   0. численность популяции хищников значительно больше количества особей жертв;

   1. количество жертв намного превышает количество хищников;

5. Покажите, приведет ли истребление хищников, к росту популяции жертв?. Какие результаты можно получить, если истреблять хищника сезонно?

Задание 4

Рассмотрите модель хищник-жертва с учетом внутривидовой конкуренции. Дайте биологическую интерпретацию полученным результатам. По виду фазового портрета сделайте вывод об устойчивости стационарного состояния (коэффициенты, характеризующие внутривидовую конкуренцию: k₁=0,001(жертвы); k₂=0,002(хищники).

При изменении коэффициентов k₁=0,011(жертвы); k₂=0,005(хищники)- особая точка должна лежать на границе устойчивых узлов и фокусов.

Если коэффициенты имеют значения k₁=0,0001 (жертвы); k₂=0,0003(хищники)- происходит бифуркация- особая точка становится устойчивым фокусом.

Лабораторная работа № 2 Математические модели распространения инфекционных заболеваний Модель 1

Предположим, что изучаемое заболевание носит длительный характер, так что процесс передачи инфекции — значительно более быстрый, чем течение самой болезни. Нас будет интересовать именно первый процесс. При этом будем предполагать, что зараженные особи не удаляются из колонии и передают при встрече инфекцию незараженным.

Пусть а и n — число зараженных и незараженных особей, соответственно, в начальный момент, x(t) — число незараженных в момент t, а y(t) — число зараженных к моменту t. Для всех моментов времени из некоторого не слишком большого промежутка 0  t  T имеет место равенство

x+y=n+a

Так как инфекция передается при встречах зараженных с незараженными, то число незараженных будет убывать с течением времени пропорционально количеству встреч между теми и другими, т.е. пропорционально произведению xy. Для промежутка времени от t до t+t имеем

Эта формула дает закон убывания x(t) c течением времени.

Задание. Постройте временную зависимость численности зараженных особей. Сделайте соответствующие выводы.