6.2Принцип аргумента

Определение устойчивости частотными методами основан на вспомогательной теореме, известной как принцип аргумента.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет следующий вид и найдены корни этого уравнения:

(6.3)

,

где - корни характеристического уравнения Q(p) = 0.

Амплитудная и фазочастотная характеристика характеристического уравнения запишется в виде:

(6.4)

При изменении частоты изменяется и амплитуда и фаза. Определим, как изменяется фаза, при изменении частоты от - ∞ до + ∞.

Пусть один из корней имеет отрицательную действительную часть (например ). Вектор этого корня в комплексной плоскости расположен слева от мнимой оси (в левой полуплоскости) (рисунок 6.2).

При изменении частоты от - ∞ до + ∞ вектор будет скользить по мнимой оси и повернется против часовой стрелки (в положительном направлении) на угол плюс π радиан.

(6.5)

.

Если таких корней будет «k» и фаза каждого вектора повернется на угол π, то результирующий вектор повернется против часовой стрелки на угол kπ радиан.

Пусть один из корней имеет положительную действительную часть (например ). Вектор этого корня в комплексной плоскости расположен справа от мнимой оси (в правой полуплоскости) (рисунок 6.2).

При изменении частоты от - ∞ до + ∞ вектор будет скользить по мнимой оси и повернется по часовой стрелки (в отрицательном направлении) на угол -π радиан.

Если таких корней будет «l» и фаза каждого вектора повернется на угол -π, то результирующий вектор повернется по часовой стрелки на угол lπ радиан.

Таким образом, фаза характеристического уравнения при изменении частоты от - ∞ до + ∞ повернется угол «kπ - lπ» радиан. Учитывая, что

(6.6)

n = k+l,

получается:

(6.7)

.

Если диапазон изменения частоты уменьшить в 2 раза, то:

(6.8)

.

Итак, принцип аргумента можно сформулировать так:

Аргумент (фаза) характеристического уравнения при изменении частоты от 0 до ∞ изменяется на угол радиан.

6.3Критерий устойчивости Михайлова

Критерий позволяет упростить принцип аргумента при анализе устойчивости.

Из принципа аргумента следует, что, если система устойчивая, то аргумент (фаза) характеристического уравнения при изменении частоты от 0 до ∞ изменяется на угол радиан. Исходя из этого, советским ученым Михайловым А.В. в 1938 году был сформулирован условие (критерий) устойчивости, который формулируется следующим образом.

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты ω от 0 до ∞ начинался при ω = 0 на вещественной положительной полуоси комплексной плоскости и обходил только против часовой стрелки (в положительном направлении) последовательно n квадрантов, где n –порядок характеристического уравнения системы.

Если нарушается порядок прохождения квадрантов, то система будет неустойчива.

Если годограф проходит через начало координат, то система нейтральная (на границе устойчивости) и любые малые неучтенные параметры могут привести систему как к устойчивому состоянию, так и сделать систему неустойчивой

Примеры годографов устойчивых и неустойчивых систем приведены на рисунке 6.3.