3.3.1Передаточная функция

Под передаточной функцией понимают отношение изображения выходной координаты к изображению входной координаты, полученных при нулевых начальных условиях.

. (3.15)

В наиболее общем виде передаточная функция записывается в виде отношения двух полиномов:

. (3.16)

Как видно, передаточная функция не имеет в своем составе изображений входных и выходных сигналов, и будет неизменной при любом сигнале, действующем на входе объекта.

Применение передаточной функции существенно упрощает расчет и анализ САУ, т.к. многочлены числителя и знаменателя можно заменить произведениями простых множителей типа: (Tp +1), p^s, (T²p² + 2Tp + 1). На схемах передаточная функция обозначается прямоугольником, внутри которого записывается ее выражение (рисунок 3.3).

3.3.2Переходная характеристика

Переходной характеристикой называется зависимость выходной координаты от времени при подаче на вход единичного ступенчатого сигнала (рисунок 3.4). Из (3.8) с учетом (3.11) уравнение переходной характеристики примет вид:

, (3.17)

где h(t) – переходная характеристика,

L^-1- обратное преобразование Лапласа.

Переходная характеристика наглядно представляет переход объекта от одного статического состояния к другому. Следовательно, переходная характеристика характеризует динамические свойства системы. Для оценки динамических свойств вводятся следующие параметры (рисунок 3.4а):

1) начальное значение выходной координаты h₀ – значение, с которого начинается переходной процесс (t=0);

2) установившееся значение h_ - значение, к которому стремится переходной процесс (t→∞);

3) длительность переходного процесса (время регулирования) t_р - время после начала переходного процесса, по истечению которого, текущее значение выходной координаты отличается от расчетного h_ (установившегося, теоретического) не более, чем на 1-5%;

4) максимальное значение переходного процесса h_max, или перегулирование, которое показывает во сколько (в %) максимальная величина выходной координаты больше, чем установившееся значение:

; (3.18)

5) время нарастания t_н – момент времени, когда выходная координата первый раз достигает установившегося значения;

6) число колебаний n – количество колебаний, которое совершает выходной сигнал за время регулирования.

3.3.3Импульсная (весовая) функция

Импульсная или весовая функция – это реакция системы на импульсное воздействие (рисунок 3.4б) – обозначается k_и(t):

. (3.19)

Импульсная (весовая) функция отражает лишь сам переходной процесс и, по сути, является производной h(t) по времени.

Следует отметить, что хоть с помощью переходной и импульсной функций наглядно представлены динамические режимы, но они не дают полного представления об внутренних свойствах объекта, и тем более не «подсказывают» путей улучшения параметров динамических процессов.

3.3.4Амплитудно - фазочастотные характеристики (афчх)

Для изучения внутренних свойства объектов, необходимо исключить из рассмотрения входные и выходные сигналы и оставить только то, что характеризует лишь сам объект.

Если на входе и выходе объекта сигналы имели бы одинаковый набор параметров, то сами сигналы можно исключить, используя лишь набор функций, характеризующих во сколько раз объект изменяет тот или иной входнойпараметр.

При подаче на вход линейной системы управления (объекта) гармонического сигнала с тремя параметрами (амплитуда, частота, начальная фаза), на выходе получаем то же гармонический сигнал с измененной амплитудой и фазой, но с такой же частотой. То есть, можно получить функцию, показывающую, как изменяются амплитуда и фаза выходной координаты при изменении частоты.

Амплитудно-фазочастотной характеристикой (АФЧХ) называется реакция системы на синусоидальное воздействие единичной амплитуды и нулевой начальной фазы при изменении частоты ω от - ∞ до ∞. Чаще всего диапазон изменения частоты принимается от 0 до ∞.

В математике доказано, что для получения частотных характеристик необходимо в уравнении передаточной функции (3.14) оператор «p» заменить на комплексное число j. При такой замене получается комплексная передаточная функция (КПФ) или амплитудно - фазочастотная характеристика, которая обозначается W(j) и имеет следующее выражение:

, (3.20)

где A()= – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), которая показывает во сколько раз изменяется амплитуда выходного синусоидального сигнала в зависимости от частоты входного сигнала;

() – фазочастотная характеристика (ФЧХ), которая показывает фазовый сдвиг выходного синусоидального сигнала относительно входного в зависимости от частоты входного сигнала;

P() – вещественная частотная характеристика (ВЧХ), которая показывает во сколько раз изменяется амплитуда гармоники выходного сигнала, совпадающей по фазе с входным сигналом, в зависимости от частоты;

Q() – мнимая частотная характеристика (МЧХ), которая показывает во сколько раз изменяется амплитуда гармоники выходного сигнала, опережающей на 90 градусов входной сигнал, в зависимости от частоты.

Физический смысл частотных характеристик показан на рисунке 3.5.

Функция W(j) строится или на комплексной плоскости (см. рисунок 3.6а), или в декартовой системе координат (рисунок 3.6 б).

Амплитудно-фазочастотная характеристика, построенная в комплексной системе координат, называется годографом. К недостаткам использования АФЧХ можно отнести:

- расчет и построение АФЧХ сопряжен с большой вычислительной работой. Однако использование современных вычислительных средств этот недостаток снимает.

- отсутствие четких и простых способов улучшения качества САУ.

Исследование поведения системы частотными методами упрощается, если АФЧХ строить в логарифмической системе координат.

Взяв натуральный логарифм из уравнения (3.20), получим:

. (3.21)

В ТАУ принято строить логарифмическую характеристику не в натуральной логарифмической системе координат, а в десятичной.

Логарифмической амплитудночастотной характеристикой (ЛАЧХ) называется характеристика, которая рассчитывается по формуле и имеющая размерность в децибелах:

. (3.22)

По оси абсцисс откладывается десятичный логарифм частоты, т.е. lg.

За единицу масштаба по оси абсцисс принимают декаду или октаву. Декадой называется диапазон частот, в котором частота изменяется в десять раз, при этом приращение логарифма lg составляет 1 (рисунок 3.6в).

.

Октавой называется диапазон частот, в котором частота изменяется в два раза.

Значения логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) откладывются по оси ординат в децибелах (рисунок 3.6в).

При построении логарифмической фазочастотной характеристики (ЛФЧХ) фаза (град) по оси ординат откладывается в линейном масштабе (рисунок 3.6в).