4.4Апериодическое (инерционное) звено 1-го порядка

Примерами инерционного звена могут служить:

- RC цепочка (рисунок 4.6а). Входным сигналом является напряжение U_вх(t), выходным – напряжение на конденсаторе U_с(t). Тогда:

; (4.665)

- реальная катушка индуктивности (в электроприводе – обмотка возбуждения, якорная цепь двигателя постоянного тока при неподвижном якоре, обмотки статора или ротора двигателей переменного тока (рисунок 4.6б). Входным сигналом является напряжение U_вх(t), выходным - напряжение на сопротивлении U_R(t), или ток якоря i(t):

(4.676)

- схема на операционном усилителе (рисунок 4.6в):

(4.687)

В общем виде уравнения (4.45)- (4.47) можно записать так:

. (4.48)

где Т – постоянная времени апериодического звена.

После преобразования Лапласа:

. (4.49)

Следовательно:

. (4.690)

4.4.1 Передаточная функция

. (4.701)

Условно-графическое обозначение апериодического звена представлено на рисунке 4.6г.

4.4.2 Переходная функция

Уравнение переходной функции на основании (3.9) представляется в виде:

. (4.71)

Корнями характеристического уравнения являются p₁=0 и p₂= –1/T. Следовательно:

. (4.72)

В таблице 4.5 приведены некоторые значения переходной функции в различное время переходного процесса.

Таблица 4.5

t	T	2T	3T	4T	5T
h(t)	0.63	0.865	0.95	0.98	0.99

График переходной характеристики представлен в таблице 4.7. Как видно из таблиц 4.5 и 4.7, переходной процесс заканчивается примерно через время, равное (3-5)Т.

4.4.3Амплитудно-фазочастотная характеристика

4.4.3.1Амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ):

^{. .} (4.73)

4.4.3.2Амплитудночастотная характеристика (АЧХ):

. (4.74)

4.4.3.3Фазочастотная характеристика (ФЧХ):

()=-arctg . (4.75)

4.4.3.4Вещественная частотная характеристика (ВЧХ):

. (4.76)

4.4.3.5Мнимая частотная характеристика (МЧХ):

. (4.58)

Уравнения и графики амплитудно-фазочастотной характеристики в различных системах координат представлены в таблице 4.7.

4.4.4 Логарифмическая амплитудно-фазочастотная характеристика (ЛАФЧХ)

4.4.4.1Логарифмическая амплитудночастотная характеристика имеет следующий вид:

(4.59)

Логарифмическую АФЧХ можно построить:

• аналитически по уравнению (4.59),

• аппроксимированным методом.

Для построения аппроксимированным способом проанализируем поведение характеристики в двух областях частот:

• T>>1 (ω>>1/Т), тогда L() - 20lgT и ЛАЧХ в этом диапазоне частот есть прямая линия с наклоном минус 20 дБ на декаду, проходящая через точку с координатами (_s=1/T, L(ω)=0. В этом диапазоне частот характеристика аналогична характеристике интегрирующего звена;

• T<<1 (ω<<1/Т), тогда L() - 20lg1=0. В этом диапазоне частот характеристика аналогична характеристике усилительного звена с коэффициентом усиления равным единице.

Таким образом, ЛАЧХ апериодического звена строиться с помощью двух прямых, пересекающихся в точке с координатами _s=1/T,L(ω)=0. Частота _s=1/T называется частотой сопряжения (иногда эту частоту называют полюсом).

Алгоритм построения ЛАЧХ инерционного звена аппроксимированным способом:

1) определяется частота сопряжения _s = 1/T и отмечается на оси абсцисс в логарифмическом системе координат,

2) слева от этой частоты ЛАЧХ строится линия с наклоном «0» дБ/дек.

3) справа от этой частоты ЛАЧХ проводится прямая линия с наклоном «минус 20» дБ/дек (наклон –1) и проходящую через частоту сопряжения.

Максимальная ошибка аппроксимации ЛАЧХ от ЛАЧХ, построенной по формуле, будет при частоте сопряжения:

. (4.770)