7.4Построение переходной характеристики по вчх методом трапеций (по h-таблицам)

Любую ВЧХ можно разбить на алгебраическую сумму нескольких трапеций. Поэтому можно вычислить переходной процесс для граничного случая – единичные трапецеидальные ВЧХ, имеющие единичную высоту и частоту ₀=1 и параметр (хи) =0…1. Путем вычисления обратного преобразования Фурье были получены h-таблицы /1/.

Алгоритм построения переходной характеристики по ВЧХ:

1. строится ВЧХ замкнутой системы;

2. ВЧХ разбивается на трапеции (для правильного разбивания на трапеции необходимо соблюдать обязательные условия – трапеции, которые имеют основание меньше, чем вершина, должны иметь отрицательную высоту, сумма высот трапеций должна равна P(0) и все трапеции должны начинаться с частоты равной 0) (см. рисунок 7.3);

3. вычисляются необходимые параметры для каждой трапеции (h_i, _{0 i}, _{d i}, _i);

4. п о h-таблицам определяются табличные значения переходных характеристик для единичных трапеций;на основании свойств ВЧХ вычисляются истинные значения переходных характеристик как: h_{ист i}=h_табл.i*h_i; t_ист.i=t_табл.i/_{0 i}.

5. полученные таким образом переходные характеристики складываются с учетом знака;

6. проверяется установившееся значение переходной характеристики, которое должно быть равно P(0).

7.5Оценка переходной характеристики с помощью лафчх замкнутой и разомкнутой системы

Оценка реакции системы при ступенчатом входном воздействии сопряжена, как правило, с громоздкими вычислениями. Поэтому очень важно уметь оценивать качество переходного процесса по виду логарифмических амплитудно-фазочастотных характеристик, которые строятся чаще всего асимптотическим (аппроксимированным) способом / 1,2,3 /.

По виду логарифмической амплитудной частотной характеристики системы можно оценить основные параметры качества переходного процесса.

Для оценки показателей качества САУ используется ЛАЧХ или разомкнутой, или замкнутой системы.

Логарифмическая амплитудно-частотную характеристика разомкнутой системы условно разбивается на три диапазона частот:

- область высоких частот,

- область низких частот,

- область средних частот.

Поведение ЛАЧХ в области высоких частот характеризует начало переходного процесса и начальное значение выходной координаты:

1) если в этой области ЛАЧХ имеет отрицательный наклон, то значение выходной координаты в начальный момент времени равно нулю;

2) если ЛАЧХ имеет нулевой наклон, то выходная координата при t = 0 отлична от нуля и определяется значением предела передаточной функции замкнутой системы при переменной p стремящейся к ;

3) если ЛАЧХ имеет положительный наклон, то выходная координата при t = 0 стремится к бесконечности. Такие САУ имеют большую чувствительность к помехам, поэтому при проектировании следует избегать такого рода характеристик.

Поведение ЛАЧХ в области низких частот характеризует окончание переходного процесса, установившееся значение выходной координаты и точность системы;

1) если в этой области ЛАЧХ имеет отрицательный наклон, то проектируемая система астатическая, т.е. ошибка регулирования равна нулю;

2) если ЛАЧХ имеет нулевой наклон, то замкнутая система статическая, т.е. ошибка регулирования отлична от нуля. Значение выходной координаты можно определить по уравнению передаточной функции замкнутой САУ, в которой вместо оператора Лапласа «р» необходимо поставить нуль;

3) если ЛАЧХ имеет положительный наклон, то установившееся значение выходной координаты после окончания переходного процесса будет равно нулю.

Поведение ЛАЧХ в области средних частот (область в районе частоты среза системы) характеризует протекание переходного процесса:

1) если через частоту среза ЛАЧХ проходит с наклоном – 60 дБ/дек, то замкнутая система будет неустойчивой, и необходимо рассмотреть вопросы устойчивости и коррекции;

2) если через частоту среза ЛАЧХ проходит с наклоном – 40 дБ/дек, то замкнутая система будет иметь минимальные запасы устойчивости по амплитуде и фазе, и, следовательно, большое перерегулирование и колебательность. САУ также может быть и неустойчивой;

3) если через частоту среза ЛАЧХ проходит с наклоном – 20 дБ/дек, то замкнутая система будет иметь достаточные запасы устойчивости по амплитуде и фазе, и, следовательно, перерегулирование и колебательность будет не столь большим. Чем больше диапазон частот в районе частоты среза с наклоном – 20 дБ/дек, тем большими запасами устойчивости обладает замкнутая система, По частоте среза оценивается время регулирования:

(7.27)

.

Если имеется ЛАЧХ замкнутой системы, оценка качества переходного процесса производится следующим образом.

1. Установившееся значение выходной координаты h_ определяется ординатой ЛАЧХ при нулевой частоте.

2. Переходной процесс протекает без перерегулирования, если ординаты ЛАЧХ на всех частотах не превышают ординаты ЛАЧХ при нулевой частоте.

3. Максимум ЛАЧХ на любой частоте, кроме нулевой, свидетельствует о том, что процесс протекает с перерегулированием. Максимальное превышение выходной координаты приблизительно равно входному сигналу, умноженному на максимальное значение коэффициента усиления амплитуды при этой частоте.

4. Переходной процесс до достижения максимума протекает приблизительно по экспоненте с постоянной времени, определяемой частотой, при которой происходит изменение наклона ЛАЧХ с отрицательного на нулевой при движении по ЛАЧХ со стороны высоких частот в область средних частот.

5. Переходной процесс после достижения максимума изменяется также по экспоненте с постоянной времени, определяемой частотой, при которой происходит изменение наклона ЛАЧХ с нулевого на положительный (или с отрицательного на нулевой) при переходе из области средних частот в область низких частот. По значению этой частоты можно приближенно оценить время регулирования.

На рисунке 7.5 представлена ориентировочная картина переходного процесса, построенная из анализа ЛАЧХ рисунка 7.4, из которого можно сделать следующие выводы:

а) установившееся значение при единичном ступенчатом воздействии равно, соответствующему ЛАЧХ при   0 (L(0));

б) процесс регулирования протекает с перерегулированием, величина перерегулирования пропорциональна L_max ;

в) до достижения максимума переходной процесс протекает по экспоненте с постоянной времени:

(7.28)

;

г) после достижения максимума переходной процесс также изменяется по экспоненте с постоянной времени:

(7.29)

;

д) время переходного процесса ориентировочно равно:

(7.30)

t_р=(3  5)Т₂ +Т₃.

7.6Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под основными показателями качества динамического режима? Покажите их на переходной функции.

2. Докажите связь между вещественной частотной и переходной характеристикой. Как по ВЧХ оценить показатели качества?

3. Как построить ВЧХ замкнутой системы по ЛАФЧХ разомкнутой системы?

4. Как с помощью ВЧХ построить переходную функцию?

7.7Рекомендуемая литература

• /1/, гл. XII

• /2/, гл. 4

• /3/, гл. 8

• /4/, гл. 6, /5/, гл. 5

8Точность регулирования

8.1Метод коэффициентов ошибок

После окончания переходных процессов система работает в режиме установившегося движения. Закон изменения выходной координаты зависит от точности воспроизведения системой заданного закона, с одной стороны, и, от влияния внешнего воздействия на выходную координату, с другой стороны.

Под точностью САУ чаще понимают отклонение действительного закона изменения выходной координаты от требуемого или заданного закона.

Это отклонение называется ошибкой регулирования. Ошибка регулирования записывается в виде

(8.31)

ε (t) = ε_x (t) + ε_f (t).

где ε(t) - ошибка регулирования САУ,

ε_x (t) - ошибка воспроизведения задающего воздействия (задания),

ε_f (t) - ошибка от действия внешнего возмущения.

Н а рисунке 8.1 представлена типовая структурная схема САУ.

С помощью формул структурных преобразований ошибка по заданию запишется в виде (при этом возмущающее воздействие равно нулю):

(8.32)

ε_x(p) = ,

ошибка по возмущению (задающее воздействие равно нулю):

(8.33)

,

где

– передаточная функция ошибки по заданию;

– передаточная функция ошибки по возмущению.

Передаточные функции представим в виде числового ряда, сходящегося при малых «р», что соответствует установившемуся режиму:

(8.34)

(8.35)

Коэффициенты этих рядов называются коэффициентами ошибок и определяются по формулам:

(8.36)

Коэффициенты называются соответственно коэффициентами позиционной (статической) ошибки, скоростной ошибки и ошибки по ускорению.

Переходя от изображения к оригиналу, ошибка воспроизведения заданного закона изменения выходной координаты имеет вид:

(8.37)

,

ошибка по возмущению:

(8.38)

.