2.7. Математичне планування експерименту

Математичне планування експерименту особливо ефективне в досліджен­ні дифузних систем, які мають багато різноманітних чинників, що визнача­ють різні за своєю природою, але тісно взаємопов'язані процеси. Плану­вання експериментальних досліджень спрямовано на отримання максиму­му інформації за мінімальних витрат на експериментування. Методи опти­мального планування експерименту дають змогу використовувати математичний апарат не тільки на стадії опрацювання результатів, як було раніше, а й у підготовці і проведенні дослідів.

У сучасній математичній теорії оптимального планування експерименту іс­нують два основні розділи:

1. Планування експерименту для вивчення механізму складних процесів і властивостей багатокомпонентних систем.

2. Планування експерименту з метою оптимізації технологічних процесів і властивостей багатокомпонентних систем.

Переважна більшість експериментальних робіт виконується саме з метою вирішення задач оптимізації; такі експерименти називають ектремальни-ми. Ця назва пов'язана з аналогією між рішенням задачі оптимізації та пошуком екстремуму функції, тому задачу, метою якої є пошук екстрему­му, називають екстремальною. Як приклади задач оптимізації можна на­вести пошук оптимального складу багатокомпонетної суміші, підвищення продуктивності діючої установки, підвищення якості продукції тощо.

У технологічних задачах метою дослідження під час оптимізації процесу найчастіше є: підвищення виходу продукту, поліпшення якості продукту, зниження його собівартості. Іноді ставиться обмежена мета — зменшення часу протікання процесу, зменшення кількості дефіцитного компонента.

Дуже характерними в цьому сенсі є компромісні задачі, наприклад отри­мання максимального виходу за собівартості продукту, що не перевищує деякого фіксованого значення, та за визначеного рівня якості.

Як вже згадувалося, експеримент може проводитися безпосередньо на об'єкті або на його моделі. Останнім часом поряд з фізичними моделями дедалі ширше застосування знаходять абстрактні математичні моделі. Для опису такого об'єкта дослідження можна використати уявлення про кібер­нетичну систему, яку схематично зображено на рис. 2.7.1. Таку кіберне­тичну систему ще називають "чорною скринькою".

Стрілки справа зображують чисель­ні характеристики, які треба отри­мати відповідно до мети досліджен­ня. Вони позначаються буквою у і називаються вихідними параметра­ми, або параметрами оптимізації (вихід "чорної скриньки").

Для проведення експерименту не­обхідно впливати на поведінку "чор­ної скриньки". Всі способи впливу

позначають буквою х і називають вхідними параметрами, або факторами (вхід "чорної скриньки"), у досліді кожен фактор може набувати одного з багатьох значень. Такі значення називають рівнями. Фіксований набір рів­нів факторів (встановлення кожного фактора на деякий рівень) визначає один з можливих станів "чорної скриньки". Водночас вони є і умовами проведення одного з можливих дослідів. Якщо перебрати всі можливі на­бори, отримаємо повну множину різних станів "чорної скриньки". Разом з тим це буде кількість різних можливих дослідів.

Однак використання для моделі всіх можливих дослідів призводить до аб­сурдно великих експериментів. З огляду на це і виникає потреба плану­вання експерименту. Таким чином, планування екстремального експери­менту — це вибір кількості та умов проведення дослідів, мінімально необ­хідних для пошуку оптимальних умов.

Планування експерименту можливе тільки за умов: / керованості об'єкта дослідження; / можливості відтворення результатів експерименту.

Експеримент називають відтворюваним, якщо за фіксованих умов досліду в різний час отримують однакові виходи в межах заданої порівняно неве­ликої помилки експерименту (2—5%).

Для виявлення можливості відтворення експерименту вибирають деякі рівні для всіх факторів і в цих умовах проводять експеримент. Потім його повто­рюють через довільні інтервали часу, і значення параметрів оптимізації по­рівнюють. Розкид цих значень характеризує відтворюваність результатів. Якщо він не перевищує фіксованої величини (встановлених вимог до точності екс­перименту), об'єкт задовольняє вимоги відтворюваності результатів.

Таким чином, планування експерименту передбачає активне втручання в процес і можливість вибору в кожному досліді тих рівнів факторів, які ста­новлять інтерес.

Найповніша схема планування експерименту представлена на рис. 2.7.2.

Якщо необхідно знайти екстремум процесу або оптимальну технологію, достатньо виконати 1—4 пункти схеми, а якщо відомі всі фактори, що впли­вають на процес, що вивчається, то пункт 3 можна вилучити з виконання.

Щоб описати процес математичною моделлю для використання в алгоритмах або для систематизації результатів великої кількості досліджень, можна запла­нувати виконання 1—3, 5 пунктів схеми, або 1, 2, 5 за раніше відомих факторів.

Якщо необхідно дослідити процес, описати його математично і зробити технологічні висновки, виконують пункти 1—3, 5, 6 або 1, 2, 5, 6.

Розглянемо етапи математичного планування експерименту дещо до­кладніше.

Вибір параметра оптимізації. Плануючи експеримент, дуже важливо пра­вильно вибрати параметр оптимізації — той показник процесу, за яким оптимізація проводитиметься.

У виборі параметра оптимізації суттєву роль відіграє рівень апріорних ві­домостей про об'єкт дослідження. Наприклад, у дослідженні хімічних і тех­нологічних процесів як вихідні параметри розглядаються: вихід реакції у відсотках або продуктивність апарату, показники якості продукту, його со­бівартість або витрати сировини.

Параметр оптимізації повинен відповідати певним вимогам: / бути ефективним з погляду досягнення мети; / бути універсальним та існувати для всіх можливих станів процесу;

/ мати однозначність (кожному стану об'єкта повинно відповідати од­не значення параметра) та статистичну ефективність (найменший розкид повторних значень);

/ бути обмеженим областю визначення;

/ бути простим і зрозумілим з погляду фізичної суті.

Хоча дослідження дифузних систем потребує врахування одночасного впливу багатьох параметрів, досягнення оптимуму можливе і тоді, коли обрано один-єдиний параметр оптимізації. Інші характеристики процесу вже не виступа­ють як параметри оптимізації, а стають обмеженнями. Інший шлях — це побудова узагальненого параметра оптимізації як функції від множний по­чаткових параметрів. Побудова узагальненого параметру оптимізації пов'я­зана із створенням єдиної ознаки, що кількісно визначає функціонування досліджуваного об'єкта з багатьма вихідними параметрами.

Можна використовувати два і більше параметрів оптимізації, але тоді за­дача ускладнюється.

Після того як параметр оптимізації обрано, переходять до вибору факторів.

Вибір факторів. Під фактором розуміють змінну величину, яка піддається вимірюванню, в обумовлений період набуває конкретного значення і від­повідає одному із способів впливу на об'єкт дослідження (незалежна змін­на величина, що впливає на процес).

Усі фактори можна поділити на якісні та кількісні. До якісних факторів на­лежать різноманітні речовини, технологічні способи, апарати тощо. Кіль-

кісні фактори можуть бути виражені числом, наприклад часом тривання процесу, температурою, швидкістю, вологістю та ін. Якісні фактори зумов­люють збільшення загальної кількості дослідів, і тому їх, за можливості, переводять у кількісні.

Кожен фактор має область визначення і вважається заданим, якщо разом з його назвою зазначено сукупність всіх значень, яких він може набувати. У практичних задачах області визначення факторів обмежені верхньою та нижньою межами.

Під час планування експерименту фактори повинні відповідати таким ви­могам:

/ бути керованими, що означає можливість їх одночасної установки на обраних рівнях і підтримання цих значень упродовж досліду;

/ бути однозначними і безпосередньо впливати на об'єкт дослідження;

/ точність вимірювання факторів повинна бути за можливості висо­кою, але з урахуванням поставленої задачі.

У процесі планування експеримента зазвичай одночасно змінюються кіль­ка факторів. До сукупності факторів висувають вимоги їхньої сумісності та взаємної незалежності.

Сумісність факторів означає, що всі їхні комбінації здійсненні та безпечні (наприклад, не призведуть до вибуху апарата або до поломки реєструючо­го приладу).

Незалежність — можливість встановлення фактора на будь-якому рівні не­залежно від рівнів інших факторів. Якщо ця умова не виконується, експе­римент планувати неможливо.

Відсіювання факторів. Кожен додатковий фактор обумовлює збільшення кількості дослідів, тому необхідно відсіяти ті фактори, які суттєво не вплива­ють на досліджуваний процес. Відсіювання можна проводити за апріорною інформацією (наприклад, за літературними джерелами). Точніше, фактори виключають експериментально (за допомогою дисперсного та факторного аналізу). Існує багато методів відсіювання факторів. Для прикладу розгляне­мо метод відсіювання за допомогою дробного факторного експерименту.

У разі використання цього методу фактори вилучають в такій послідовнос­ті. Спершу їм надають різні значення (варіюють на різних рівнях) за попе­реднім планом і вимірюють величини параметрів оптимізації. Фактори най­частіше варіюють на двох рівнях, тому кожен з них повинен мати два зна­чення та нульову точку (нульовий рівень). Нульовий рівень встановлюється всередині області визначення факторів і позначається нулем. Верхній рі­вень кожного фактора позначають +1 або просто +, нижній -1 або -. Ін-

тервали між нульовим і верхнім, а також між нульовим і нижнім рівнями (інтервали варіювання) слід вибирати однаковими. Вони не повинні бути менші за подвоєну середню квадратичну помилку і більші за половину об­ласті визначення. Найчастіше інтервал варіювання дорівнює 10—25% мак­симального значення фактора.

Услід за цим складають план експерименту, який допоможе визначити ступінь впливу кожного фактора на параметр оптимізації. Повний факто­рний план передбачає всі комбінації факторів на двох рівнях і познача­ється 2* (k — кількість факторів) за кількістю необхідних дослідів.

Для зменшення кількості дослідів використовують не повний план, а лише його частину (репліку), так званий дробний факторний план. Усі досліди з комбінацією факторів записують у вигляді таблиці (матриці), однакової (стан­дартної) для всіх досліджень. Щоб скористатися стандартною матрицею, значення (рівні факторів) кодують за формулою

Помилку експерименту розраховують за результатами дослідів, що повто­рюються кілька разів за однакових умов. Рекомендується кожен дослід проводити двічі, а якщо результати різняться більш як на 10%, його повто­рюють ще раз. Одне з трьох значень відкидають як випадкове за критерієм Ст'юдента.

Після цього підраховують середньоквадратичну помилку експерименту S_gослід і коефіцієнти регресії S_bi. Довірчий інтервал у разі наближених розрахунків визначають за формулою

де п — кількість дослідів із повторенням. Довірчий інтервал у разі набли­жених розрахунків визначають за формулою

де х₍ — кодоване значення фактора (1, -1, 0 і под.); х. — натуральне значення фактора на якомусь рівні; х". — натуральне значення фактора на нульовому рівні; /₍ — інтервал варіювання фактора (в натуральному вигляді).

Добирають такі частки реплік, за яких кількість дослідів дорівнює або тро­хи перебільшує число факторів k. Наприклад, для 15 факторів (повний план 2¹⁵ = 32 768 дослідів) можна скористатися 1/2048 репліки (2¹⁵"¹' = 16 дослідів), для 7 факторів — 1/16 репліки (2⁷~⁴ = 8 дослідів) тощо.

Після цього складений план-матрицю реалізують — виконують досліди за пла­ном. Результати у вигляді параметра оптимізації заносять до тієї самої таблиці.

Коефіцієнти, що визначають ступінь впливу факторів на параметр оптимі­зації, розраховують за формулою

де &. — коефіцієнт регресії і-го фактора;

г/. — значення параметра оптимізації в і-му досліді; х_ц—- кодоване значення і-го фактора в у-му досліді; п — кількість дослідів у матриці.

де t — критерій Ст'юдента.

Фактори, що мають незначний вплив на параметр оптимізації, мають кое­фіцієнти регресії, менші за довірчий інтервал. Такі фактори треба вилучи­ти (відсіяти) або зафіксувати на постійному рівні.

Якщо за даними експериментів і розрахунків відсіялося дуже багато фак­торів і серед них опинилися ті, що за логікою повинні були залишитися, дуже ймовірно, що інтервали варіювання обрано неправильно. Для цих факторів останні рекомендують збільшити і зробити нову серію дослідів за тим самим планом.

Пошук сфери оптимуму. Для вирішення задачі пошуку сфери оптиму­му використовують різні методи, наприклад Зейделя—Гаусса, Бокса— Вільсона, послідовний симплексний метод і його модіфікації. Вибір кон­кретного методу залежить від умов задачі. Немає необхідності розгля­дати кожен або будь-який з них докладно, ці методи викладено в спеці­альній літературі з теорії експерименту та математичної статистики. Для загального уявлення про процес пошуку оптимуму достатньо розгляну­ти схему симплекс-планування.

Найбільш наочним варіантом є метод симплекс-планування пошуку опти­муму для двох факторів х_{ та х_г

Правильним симплексом є множина ( + 1) незалежних точок, що утворю­ють опуклий багатогранник у n-мірному просторі. У нашому випадку це буде правильний трикутник у двомірному просторі.

Будувати цей трикутник під час проведення першого експерименту доціль­но таким чином, щоб одна з його вершин розміщувалася в умовно обраній точці, координати якої х1 = х2 = 0. Ця точка є аналогом нульового рівня плану факторного експерименту.

Значення факторів у визначенні координат точок доцільно представляти в умовних одиницях, а як фундаментальний параметр планування обирати сторону симплексу. При цьому інтервали варіювання згідно з геометрією симплексу можуть набувати різних значень. Для правильного трикутника вони пропорційні числам 1,0; 0,86; 0,5. Координати вершин трикутника представлені в табл. 2.7.1.

Як приклад розглянемо симплекс-планування для визначення оптимуму дії ферменту за двома факторами: величиною рН і температурою. За нульо­вий рівень, виходячи з апріорної інформації, візьмемо значення рН = 5,0 та t = 20°С. Тоді х,= 0 (рН = 5,0) х₂= 0 (t = 20°С).

Таблиця 2.7.1. План експерименту у симплекс-плануванні

Номер досліду, u	х1	х2	Вихід процесу, уи
1 (0)	0	0	Уо
2 (А)	0,5	0,86	Уа
3(В)	0	0	Ув

Далі перейдемо на умовні одиниці, наприклад за умовну одиницю фактора дс₇ (рР) візьмемо 0,5, а фактора х₂ (t) — 5 °С. Ця система характеризується тим, що різні за своєю природою фактори, які вимірюються в різних оди­ницях, виражаються однотипно.

Згідно з викладеним перший експеримент щодо вивчення активності фер­менту ставиться за значень факторів, наведених в табл. 2.7.2.

Таблиця 2.7.2. Приклад плану експерименту в симплекс-плануванні

Номер досліду, u	Значення			Значення		Х2
	умовне		дійсне:	умовне		дійсне
1 (О)	0		5,0	0		20
2 (А)	0,5		5,5	0,86		25
3(В)	1,0		6,0	0		20

Припустімо, що після реалізації експериментів в точках О, А, В отримано значення у₀, у_А, у_в, причому у_о<у_А< у_в.

Для визначення координат точки наступного кроку метод симплекс-плану­вання передбачає дуже простий прийом — побудову нового симплексу на тій грані попереднього симплексу, яка протистоїть точці найгіршого вихо­ду (точка О' симплексу ВАО ).

Для визначення координат точки О' можна обмежитися графічним мето­дом побудови рівнобічних трикутників, що мають спільну сторону.

У складніших випадках, коли число факторів п > 2 або за можливості вико­ристання розрахункових прийомів координати точки О' знаходять як по­двоєну середню координат старого симплексу без найгіршого виходу. У нашому випадку координати точки О' у кодованому вигляді будуть такими:

Згідно із цим активність ферменту на наступному етапі треба проводити за натуральних значень факторів х₁ = 6,5 (рН) та х₂ = 25 °С (t).

Після постановки експерименту в точці О' та визначення величини виходу у₀' його порівнюють зі значенням у₀, у_А, у_в і проводять наступний експери­мент, "перевертаючи" симплекс в той чи інший бік (рис. 2.7.4), доки буде досягнено оптимуму. Якщо симплекс починає "обертатися " навколо деяко­го найбільш високого значення, то після виконання (п + 1)-го експерименту повторюють дослід, що дав найбільший вихід, і на цьому зупиняються.

Таким чином, використання симплекс-планування дає можливість суттєво зменшити кількість дослідів порівняно з повним факторним експеримен­том і не потребує додаткових складних розрахунків. До того ж він може бути використаний навіть тоді, коли функцію виходу неможливо оцінювати кількісно, а тільки якісно.

У застосуванні методу математичного планування експерименту саме етап пошуку і вивчення області оптимуму і є осередком експериментального до­слідження, процесом отримання первісної інформації про об'єкт, яка стане базою для перевірки теоретичних положень. Від ретельності проведення робіт на цьому етапі безпосередньо залежать і результати всього експери­ментального дослідження. Тому обов'язковою умовою проведення експери­менту є ведення журналу або протоколу робіт. Його форма може бути до­вільною, але вона повинна повністю відповідати досліджуваному процесу з

максимальною фіксацією всіх факторів. У журналі або протоколі зазначають тему НДР і тему експерименту, прізвище виконавця, час і місце проведення експерименту, характеристику навколишнього середовища, дані про об'єкт експерименту і засоби вимірювання, результати спостережень та інші дані, необхідні для оцінки отриманих результатів. Журнал або протокол заповню­ють акуратно, без виправлень. Якщо в одному статистичному ряду отрима­но результати, що значно відрізняються від сусідніх вимірів, виконавець по­винен записати їх без будь-якого корегування і зазначити обставини, за яких проведено це вимірювання. Це дасть змогу надалі встановити причини такого спотворення даних і кваліфікувати виміри як ті, що відповідають ре­альному перебігу процесу, або як грубу помилку.

Водночас з вимірюваннями дослідник повинен проводити попереднє опра­цювання результатів та їхній аналіз. Такий аналіз дає можливість контро­лювати досліджуваний процес, корегувати експеримент, удосконалювати методику та підвищувати ефективність експерименту. При цьому необхід­но пам'ятати про те, що жодні вимірювання не можуть бути виконані абсо­лютно точно. Отриманий результат завжди має якусь помилку, бо немож­ливо повністю вилучити вплив різноманітних випадкових факторів. Тому реальний результат завжди є випадковою величиною, яка відхиляється від справжнього значення. Таке відхилення називають помилкою спостере­ження. Вона також є випадковою величиною і становить результат дії ви­падкових (неврахованих) факторів. Розрізняють помилки трьох типів: сис­тематичні, випадкові та грубі.

Систематичною називають помилку, яка залишається постійною або зако­номірно змінюється під час повторних визначень однієї величини. Ці по­милки з'являються внаслідок несправності приладів, неточності метода ви­мірювання, використання для обчислювання неточних даних. Найчастіше такі помилки мають постійний знак — тільки збільшують або тільки змен­шують результати. Виявити та вилучити систематичні помилки досить важ­ко. Це потребує ретельного аналізу методів експерименту, перевірки всіх засобів вимірювання тощо.

Для вилучення систематичних помилок рекомендують досліди проводити рандомізовано (у випадковій послідовності). Наприклад, якщо потрібно провести вісім дослідів, то з випадкового місця таблиці випадкових чисел (табл. 2.7.3) послідовно виписують ті, що лежать в інтервалі від 1 до 8, відкидаючи при цьому вже виписані, та числа, що більші за 8.

У результаті буде отримано таку послідовність реалізації дослідів:

Номер досліду в матриці 1 2 3 4 5 6 7 8

Порядок реалізації дослідів 7 2 8 3 14 5 6

Таблиця		2.7.3	. Фрагмент			таблиці випадкових чисел
87	63	88	23	62	51	07	69	59	02	89	49	14	98	53	41	92	36
07	76	85	37	84	37	47	32	25	21	15	08	82	34	57	57	35	22
03	33	48	84	37	37	29	38	37	89	76	25	09	69	44	61	88	23
13	01	59	47	64	04	99	59	96	20	ЗО	87	31	33	69	45	58	48
00	83	48	94	44	98	67	79	41	61	41	15	60	11	88	83	24	82
24	07	78	61	89	42	58	88	22	16	13	24	40	09	00	65	46	38
61	12	90	62	41	11	59	85	18	42	61	29	88	76	04	21	80	78
27	84	05	99	85	75	67	80	05	57	05	71	70	21	31	99	99	06
96	53	99	25	13	63

Випадковою називають помилку, яка під час повторних вимірювань однієї величини змінюється випадковим чином. Вона може бути завдана і об'єк­тивними, і суб'єктивними причинами, наприклад недосконалістю приладів, їх освітлення та розташування, зміною температури в процесі вимірюван­ня або напруги в електричній мережі тощо. Для компенсації впливу випад­кових помилок кожен дослід рекомендують повторювати кілька разів. Оскіль­ки причини, що призводять до випадкових помилок, неоднакові в кожному експерименті і не можуть бути враховані, зовсім вилучити їх неможливо, можна тільки оцінити їхнє значення. Правила визначення випадкових по­милок вивчають у теорії помилок — розділі математичної статистики, що базується на теорії ймовірності, тому ми докладно їх не розглядатимемо.

У разі багаторазового визначення якогось показника можуть траплятися результати, що значно відрізняються від інших результатів тієї самої серії. Вони можуть бути наслідком грубої помилки, яка спричинена неуважністю експериментатора, який неправильно зробив відлік або записав одну циф­ру замість іншої. Таку помилку легко знайти, і вона обов'язково повинна бути вилучена з експериментальних даних. Для вилучення грубих помилок в теорії помилок також існує система правил.

Інтерпретація (представлення) результатів експерименту. Закінчивши дослідження, експериментатор на підставі аналізу отриманих даних пови­нен зробити висновки про підтвердження гіпотези наукового дослідження. Найчастіше аналіз експериментальних даних становить дослідження функ­цій взаємозалежності факторів і параметрів оптимізації. Якщо досліджува­ний процес описано у вигляді функціональних залежностей (математичної моделі), модель можна використовувати для визначення параметрів опти-

мізації за будь-якого набору значень факторів у досліджуваному інтервалі. Найзручнішою та повною є така послідовність дій:

/ аналіз коефіцієнтів регресії полінома (математичної моделі); / графічний аналіз експериментальних даних; / канонічний аналіз рівнянь; / чисельний аналіз рівнянь.

Метою цього комплексу дій є розкриття фізичної суті досліджуваного про­цесу для встановлення адекватності гіпотези та експерименту.

Контрольні запитання і завдання

1. В яких випадках доцільне математичне планування експерименту (МПЕ)?

2. За яких умов можливе застосування МПЕ?

3. Алгоритм МПЕ.

4. Розкрийте сутність окремих етапів МПЕ.

5. Типи помилок і методи їхнього усунення.