4.2. Раскрытие неопределенности вида

Рассмотрим отношение функций . Пусть – бесконечно малые функции (б.м.ф.) при , отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида .

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него.

Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует избавиться от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример

Вычислить предел .

Решение

При числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель дроби умножим на сопряженное знаменателю выражение, т.е. на сумму , а квадратный трехчлен разложим на множители, найдя для этого его корни:

,

тогда,

.

Таким образом, получим:

.

4.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела

Одна из форм записи второго замечательного предела

.

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида .

Пример

Вычислить предел .

Решение

Предел основания , а показатель степени при , т.е. имеет место неопределенность вида . Выделим целую часть основания степени

и применим второй замечательный предел:

, учитывая, что .

4.4. Непрерывность функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она имеет предел в точке и этот предел равен – значению функции в точке :

.

Таким образом, для того чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно выполнение трех условий:

1. функция должна быть определена в точке ;

2. должны существовать пределы функции при как слева, так и справа, т.е. и ;

3. эти пределы должны быть равны между собой и равны значению функции в точке , т.е. .

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то говорят, что функция имеет разрыв в точке и точку называют точкой разрыва функции .

Точки разрыва следует искать среди точек, не входящих в область определения функции.

Классификация точек разрыва

Определение. Если в точке функция имеет пределы слева и справа и они равны между собой, а в точке

или функция не определена, то точка называется точкой устранимого разрыва функции .

В этом случае функцию можно доопределить в точке так, чтобы она стала непрерывной, т.е. положить

.

Определение. Если в точке функция имеет конечные пределы слева и справа, причем , то точка называется точкой разрыва функции 1-го рода.

При переходе через точку значение функции претерпевает скачок, измеряемый разностью .

Определение. Точка называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке хотя бы один из пределов (справа или слева) не существует или равен .

Пример

В точках и для функции установить характер точек разрыва.

Решение

Область определения функции . Данная функция непрерывна во всех точках, кроме точек и , которые не входят в область определения функции.

Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:

если , то , тогда предел слева ,

если , то , тогда предел справа .

Так как односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то в точке функция имеет разрыв 1-го рода (скачок функции).

Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:

если , то , тогда ,

если , то , тогда .

Так как односторонние пределы равны , то в точке функция имеет разрыв 2-го рода.