Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач

3.1. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Выражение вида

(1)

где х и у – произвольные действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая условию , называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается , число у называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается .

При число совпадает с вещественным числом х, если число называется чисто мнимым.

Два комплексных числа называются равными, если у них равны соответственно действительные и мнимые части:

.

Комплексные числа называются сопряженными, если у них равны действительные части, а мнимые противоположны по знаку; сопряженные числа обозначают

.

Определим основные действия над комплексными числами и , заданными в алгебраической форме.

Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число , т.е. при сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно.

Разностью комплексных чисел называется комплексное число , которое удовлетворяет равенству . Очевидно: . При нахождении разности из действительной и мнимой частей уменьшаемого z₁ вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого z₂.

Произведением комплексных чисел называется комплексное число . Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что .

Частным от деления называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет уравнению . Для частного имеет место формула:

Чтобы разделить число z₁ на z₂ , следует числитель и знаменатель дроби умножить на число , сопряженное знаменателю.

Возведение комплексного числа z в степень n – это нахождение произведения n сомножителей, каждый из которых равен z, т.е. . При возведении в степень n используется правило возведения в степень двучлена , в общем случае применяется формула бинома Ньютона.

Пример

Даны комплексные числа .

Вычислить .

Решение

,

,

,

,

,

3.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Комплексное число изображается на плоскости Оху точкой М с координатами (х;у), либо вектором, начало которого находится в точке О(0;0), а конец – в точке (рис. 1).

у=Im z

М(х,у)

r 

0 х=Re z

Рис. 1

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось Ох – действительной осью, ось Оу – мнимой осью.

Число r – длина радиус-вектора точки (расстояние точки М от начала координат) называется модулем комплексного числа

. ( 2 )

Угол , который образован вектором с осью Ох и отсчитываемый от положительного направления оси Ох, называется аргументом комплексного числа и обозначается Arg z.

Аргумент комплексного числа определен с точностью до слагаемого, кратного :

где – главное значение аргумента, определяемое условием

.

Аргумент числа неопределен.

Если вектор расположен в верхней полуплоскости, то угол  отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки до направления вектора , в данном случае .

Если вектор расположен в нижней полуплоскости, то угол  отсчитывается от положительного направления оси Ох по ходу часовой стрелки до направления вектора , в данном случае .

Если , то будем считать, что .

Существует несколько подходов к определению аргумента. Один из них состоит в следующем. Если , то аргумент

,

где .

Учитывая, что , получим

- ( 3 )

тригонометрической форма записи комплексного числа.

Используя формулу Эйлера , получим показательную форму комплексного числа:

, ( 4 )

где – модуль, – аргумент комплексного числа.

Пример

Даны комплексные числа: , . Изобразить числа на комплексной плоскости, найти модуль и аргумент, записать в тригонометрической и показательной форме.

Р ешение (рис. 2)

у

7 z₅

5,5 z₃

z₆ 2

z₂ z₁

-7 -5,5 -3,5 0 2 6 12,1 х

-2 z₈

-6

z₄

z₇ -12,1

Рис. 2.

1. Найдем модуль и аргумент для комплексного числа . Подставляя модуль и аргумент в формулы (3) и (4), получим

.