2. Для имеем:

Следовательно:

.

3. Для имеем:

Следовательно:

.

4. Для имеем:

Следовательно:

.

5. Для имеем:

Следовательно:

.

6. Для имеем:

Следовательно:

.

7. Для имеем:

,

Следовательно:

.

8. Для имеем:

.

Следовательно:

.

3.3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Рассмотрим два комплексных числа в тригонометрической форме

и .

При перемножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются, т.е.

.

Формула возведения комплексных чисел в натуральную степень:

.

Деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, выполняется по формуле

.

Модуль частного равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

В результате умножения и деления чисел может получиться аргумент произведения и частного, не являющийся главным значением.

Пример

Даны числа .

Вычислить .

Решение

3.4. Решение уравнений

Пусть требуется извлечь корень n-ой степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.

Формула извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме имеет вид

.

Таким образом, для любого комплексного числа имеет n различных корней, точки им соответствующие расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса .

Задача извлечения корня степени n из комплексного числа равносильна решению уравнения вида

.

Для решения уравнения нужно найти и использовать формулу извлечения корня.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Задача равносильна нахождению всех значений корня из комплексного числа. В этом случае .

Определим модуль и аргумент комплексного числа :

Следовательно:

.

Используя формулу извлечения корня, имеем

Придавая k последовательно значения от 0 до 2, выписываем решения уравнения:

,

,

.

Контрольная работа № 4. Предел и производная функции одной переменной.

4. 1. Вычислить предел .

   2. Вычислить предел .

   3. Вычислить предел .

   4. В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва.

   5. Найти производную функции .

   6. Найти производную функции

   7. Найти производную функции , применяя метод логарифмического дифференцирования.

   8. Найти производную функции, заданной неявно: .

   9. Найти производную функции, заданной параметрически: .

   10. С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач

4.1. Раскрытие неопределенности вида .

Рассмотрим отношение функций . Пусть – бесконечно большие функции (б.б.ф.) при , отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида . Для нахождения предела неопределенного выражения нужно избавиться от неопределенности (или раскрыть неопределенность).

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень, а затем перейти к пределу.

Пример 1

,

так как при каждая из дробей стремится к нулю.

Пример 2

.

Пример 3

.

Замечание. Из рассмотренных примеров видно, что предел частного двух многочленов при равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, равны; равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя; равен , если степень числителя больше степени знаменателя.