7.5. Системы дифференциальных уравнений

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная, искомая функция и их производные.

Система дифференциальных уравнений вида:

где - неизвестные функции независимой переменной , называется нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Решением системы называется совокупность n функций , обращающих каждое из уравнений этой системы в тождество.

Задача Коши. Найти решение системы ДУ, удовлетворяющее начальным условиям: при .

Наиболее распространенным методом решения системы ДУ является метод исключения неизвестных функций. Методом исключения (n-1) неизвестных функций систему ДУ можно привести к дифференциальному уравнению n-го порядка относительно одной из функций. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных функций, кроме одной.

Если система ДУ линейна относительно искомых функций, то и уравнение n-го порядка относительно одной из функций, к которому сводится система, будет линейным.

Пример

Решить систему при начальных условиях , .

Решение

Продифференцируем по х первое уравнение

.

Подставим сюда и из исходного уравнения, получим

или

.

Из первого уравнения системы . Тогда

или

,

это ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Структура общего решения . Характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня , откуда .

Частное решение найдем с помощью метода неопределенных коэффициентов:

подставим в исходное уравнение, получим

,

приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

таким образом , тогда общее решение ЛНДУ имеет вид

.

Так как , то

.

Итак, общее решение системы имеет вид

.

Найдем частное решение системы, т.е. подберем и так, чтобы удовлетворялись начальные условия

:

.

Итак, частное решение системы имеет вид

.

Контрольная работа № 8. Ряды.

8.1. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

8.1.1. .

8.1.2. .

8.1.3. .

8.2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд: .

8.3. Найти область сходимости степенного ряда: .

8.4. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 8 и решение типовых задач

8.1. Числовые ряды с положительными членами

Числовым рядом называется выражение вида

,

числа называются членами ряда, - общим членом ряда.

Сумму первых n членов данного ряда называют n-ной частичной суммой данного ряда и обозначают символом , т.е.

.

Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм , т.е. существует конечный предел ; числовой ряд называется расходящимся, если этот предел не существует или бесконечен. Этот предел S (в случае сходимости ряда) последовательности частичных сумм называется суммой данного ряда:

.

Если ряд сходится, то при . Это необходимый признак сходимости ряда. Если этот признак не выполнен, то ряд расходится.

Сходимость ряда не нарушится, если все его члены умножить на одно и то же число k, отличное от нуля, причем для сумм этих рядов выполнено равенство

.

Прибавление к ряду или отбрасывание от него конечного числа первых членов не влияет на сходимость ряда.

Ряд называется рядом с положительными членами, если все члены ряда неотрицательны, т.е. для любого n; если члены ряда строго больше нуля, т.е. для любого n, то такой ряд называется рядом со строго положительными членами.

Для рядов с положительными членами имеют место достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.

Первый признак сравнения. Если члены ряда с положительными членами, начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда с положительными членами , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Второй признак сравнения. Если - ряд с положительными членами, - ряд со строго положительными членами и если существует конечный предел , то ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по признакам сравнения часто используются следующие ряды:

1) натуральный ряд , расходится;

2) ряд , расходится;

3) гармонический ряд , расходится;

4) ряд , расходится;

5) обобщенный гармонический ряд , сходится при , расходится при ;

6) ряд , сходится при , расходится при ;

7) ряд геометрической прогрессии сходится, если , расходится, если .

Признак Даламбера. Если для ряда со строго положительными членами существует предел , то при ряд сходится, при ряд расходится (при вопрос о сходимости ряда остается открытым).

Радикальный признак Коши. Если для ряда с положительными членами существует предел , то при ряд сходится, при ряд расходится (при вопрос о сходимости ряда остается открытым).

Интегральный признак Коши. Если при - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где , сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл .

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Сравним данный ряд, общий член которого с рядом , для которого общий член . Поскольку

и ряд сходится (ряд - обобщенный гармонический ряд, где , сходимость ряда не нарушится, если все его члены умножить на одно и то же число), то на основании первого признака сравнения исходный ряд также сходится.

Пример 2

Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Применим признак Даламбера. Общий член ряда , -й член ряда .

Найдем предел:

.

Так как , то данный ряд расходится.

Пример 3

Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Применим радикальный признак Коши, найдем предел

.

Так как , то данный ряд сходится.