7.3. Линейные ду 1-го порядка
Уравнение вида
,
где
и
– непрерывные функции, называется
линейным
ДУ 1-го порядка.
Если
,
то уравнение называется линейным
однородным ДУ (ЛОДУ),
если
,
то уравнение называется линейным
неоднородным ДУ (ЛНДУ).
Одним из методов
решения линейных ДУ 1-го порядка является
метод Бернулли, согласно которому
решение уравнения ищут в виде произведения
двух функций
.
Одну из функций выбирают произвольно,
а другую находят из уравнения в зависимости
от первой.
Пример
Найти общее решение
уравнения
.
Решение
Будем искать
решение уравнения в виде
,
тогда
.
Подставим
и
в исходное уравнение, получим
.
Сгруппируем члены, содержащие U в первой степени
.
Примем за V какое-либо решение уравнения
,
разделяя в нем переменные, получим
,
проинтегрируем
,
так как достаточно
выбрать любое отличное от нуля решение,
то постоянную не вводим, считая
.
Для нахождения U имеем уравнение
,
разделяя переменные, получим
.
Таким образом,
,
или
- общее решение уравнения.
7.4. Линейные неоднородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение вида
,
где р
и q-
постоянные, называется линейным
неоднородным дифференциальным уравнением
второго порядка с постоянными
коэффициентами
(ЛНДУ).
Если
,
то получим уравнение
,
которое называется линейным
однородным дифференциальным уравнением
второго порядка с постоянными
коэффициентами
(ЛОДУ).
Уравнение
называется характеристическим
уравнением
для уравнения
.
В зависимости от
корней
характеристического уравнения получим
общее решение
ЛОДУ в виде:
,
если корни действительны и различны;
,
если корни действительны и равны, т.е.
;
,
если
,
- комплексные числа.
Пример 1
Найти
общее решение ЛОДУ 2-го порядка
.
Решение
Характеристическое
уравнение
имеет два различных действительных
корня
,
следовательно, общее решение имеет вид
.
Пример 2
Найти общее решение
ЛОДУ 2-го порядка
.
Решение
Характеристическое
уравнение
имеет два одинаковых действительных
корня
,
следовательно, общее решение уравнения
имеет вид
.
Пример 3
Найти общее решение
ЛОДУ 2-го порядка
.
Решение
Характеристическое
уравнение
имеет два комплексных корня:
,
следовательно, общее решение уравнения
имеет вид
.
Общее
решение ЛНДУ
определяется
формулой:
,
где
- общее решение соответствующего
линейного однородного уравнения:
,
-
частное решение ЛНДУ.
Метод неопределенных коэффициентов
для нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами,
когда правая часть имеет специальный вид
,
a
– любое вещественное число,
- многочлен степени n.
В этом случае частное решение ЛНДУ отыскивается в форме правой части:
,
где
-
многочлен степени n
с неопределенными коэффициентами,
которые подлежат определению, если
- не корень характеристического
уравнения, т.е.
.
,
если
- простой корень характеристического
уравнения, т.е.
.
,
если
- двукратный корень характеристического
уравнения, т.е.
.
Коэффициенты многочлена находятся методом неопределенных коэффициентов.
II.
или
Во всех случаях частное решение берется в следующей форме:
,
если число
- не корень характеристического
уравнения, k
– наибольшее из чисел m
и n.
Коэффициенты многочленов
- разные неизвестные числа, подлежащие
определению.
,
если число
совпадает с одним из корней
характеристического уравнения.
Задачей Коши
для дифференциального уравнения второго
порядка называется задача нахождения
решения
этого уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям
,
.
Пример 4
Решить задачу
Коши:
,
.
Решение
Общее решение
уравнения имеет вид
.
Характеристическое
уравнение
имеет равные действительные корни
,
следовательно, общее решение линейного
однородного уравнения имеет вид
.
Найдем частное решение ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов
,
,
подставим
в исходное уравнение и разделим левую
и правую часть на
,
получим
приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
тогда
.
Общее решение уравнения:
.
Найдем производную
Подставим в общее
решение и его производную начальные
условия, получим систему уравнений для
нахождения
и
:
подставим найденные и в общее решение уравнения, получим решение задачи Коши:
.
Пример 5
Решить задачу
Коши:
.
Решение
Общее решение уравнения имеет вид .
Характеристическое
уравнение
имеет комплексные корни
,
следовательно, общее решение линейного
однородного уравнения имеет вид
.
Найдем частное решение ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов
,
,
,
подставим в исходное уравнение, получим
,
приравниваем
коэффициенты при
и
:
,
,
тогда общее решение уравнения имеет вид
.
Найдем производную
,
Подставим в общее решение и его производную начальные условия, получим систему уравнений для нахождения и :
,
подставим найденные и в общее решение уравнения, получим решение задачи Коши:
.