6.4. Производная по направлению и градиент

Пусть функция дифференцируема в точке .

Производная функции по направлению вектора находится по формуле

,

где – единичный вектор заданного направления , , – направляющие косинусы вектора, которые находятся по формулам

.

Производная по направлению является скоростью изменения функции в точке по направлению .

Абсолютная величина производной по направлению определяет величину скорости, а знак производной – характер изменения функции (возрастание или убывание).

Градиентом функции в точке называется вектор, обозначаемый символом и равный

,

т.е. вектор, проекции которого на координатные оси Ох, Оу, Oz равны соответственно частным производным по х, у, z в точке от функции .

Градиент U в данной точке по численному значению и по направлению характеризует наибольшую скорость возрастания величины U.

Пример

Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

Решение

Градиент находим по формуле , где

тогда

.

Производная по направлению: ,

где , тогда

Контрольная работа № 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

7.1. Найти общее решение уравнения .

7.2. Найти общее решение уравнения .

7.3. Найти общее решение уравнения .

7.4. Решить задачу Коши:

7.4.1. .

7.4.2. .

7.5. Решить систему уравнений: , .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 7 и решение типовых задач

7.1. ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение (ДУ) вида

называется уравнением с разделяющимися переменными. В нем коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от х и только от у.

Путем деления на выражение оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

.

Общий интеграл его запишется в виде:

.

Замечание. Деление на может привести к потере решений или , обращающих это произведение в ноль. Среди этих решений могут быть особые решения.

Пример

Найти общее решение уравнения .

Решение

Полагая , запишем уравнение в виде ,

разделим переменные , проинтегрируем

,

или , где - общий интеграл уравнения.

7.2. Размерно-однородные ду 1-го порядка

Функция называется однородной функцией k-го измерения относительно переменных х и у, если при любом допустимом t справедливо тождество

.

Пример 1

Рассмотрим функцию . Для этой функции , т.е. данная функция – однородная функция относительно х и у, второго измерения.

Пример 2

Рассмотрим функцию . Для этой функции , т.е. – однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

ДУ 1-го порядка

называется однородным относительно х и у, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Подстановка преобразует это уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

Замечание. ДУ вида будет однородным в том и только в том случае, когда и являются однородными функциями одного и того же измерения.

Пример 3

Найти общее решение уравнения .

Решение

Запишем уравнение в виде .

Так как для функции , выполняется условие , то функция - однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Введем подстановку , откуда , тогда уравнение примет вид

,

или

,

откуда получаем

.

Разделяя переменные и интегрируя, находим последовательно:

,

производя обратную замену , находим

,

или

- общий интеграл.