Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 6 и решение типовых задач
6.1. Частные производные функции двух переменных
Переменная
z
называется функцией
двух независимых переменных
х
и у
на некотором множестве точек
,
если каждой паре значений
из множества
соответствует определенное значение
величины z.
Пишут:
.
С геометрической точки зрения функция представляет собой поверхность.
Если
при
отношение частного приращения функции
к вызвавшему его приращению аргумента
имеет конечный предел, то этот предел
называется частной
производной функции
по независимой переменной х
в точке
и обозначается
,
или
,
или
.
Таким образом, по определению
.
Аналогично,
.
Так
как
вычисляется при неизменном значении
переменной у,
а
– при неизменном значении переменной
х,
определение частных производных можно
сформулировать так: частной производной
по х
функции
называется обычная производная этой
функции по х,
вычисленная в предположении, что у
есть постоянная; частной производной
по у
функции
называется ее производная по у,
вычисленная в предположении, что х
– постоянная.
Пример 1
Найти
частные производные функции
.
Решение
Пример 2
Показать, что
функция
удовлетворяет уравнению
.
Решение
Найдем частные производные
,
.
Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:
что и требовалось
доказать.
6.2. Дифференциал функции двух переменных
Частным
дифференциалом
функции
называется произведение частной
производной на соответствующее
произвольное приращение независимой
переменной:
выражение
называется частным
дифференциалом функции
по
переменной х;
выражение
называется
частным
дифференциалом функции
по
переменной у.
Пример 1
Найти частные дифференциалы функции
Решение
,
.
Полный дифференциал функции равен сумме ее частных дифференциалов:
.
Пример 2
Найти
дифференциал
функции
.
Решение
Найдем частные производные
,
.
Подставим частные производные в формулу полного дифференциала, получим
.
6.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Прямая линия
называется касательной
к поверхности
в некоторой точке
,
если она является касательной к какой-либо
кривой, лежащей на поверхности и
проходящей через точку
.
Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .
Если уравнение
поверхности задано неявно, т.е.
,
то уравнение касательной плоскости к
поверхности в точке
имеет вид
Если уравнение поверхности задано в явном виде, т.е. , то уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид
.
Нормалью к поверхности называют прямую, перпендикулярную к касательной плоскости в точке касания.
Если уравнение поверхности задано неявно, т.е. , то уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид
.
Если уравнение поверхности задано в явном виде, т.е. , то уравнение нормали имеет вид
.
Пример
Составить уравнения
касательной плоскости и нормали к
поверхности
в точке
.
Решение
Найдем частные
производные
и
вычислим их значения в точке
:
.
Уравнение касательной плоскости:
или
.
Уравнение нормали:
.