Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 10 и решение типовых задач
10.1. Выборка из одномерной генеральной совокупности
Пусть Х – случайная величина с функцией распределения .
Совокупность всех значений СВ Х называют генеральной совокупностью.
Случайной выборкой ( или выборочной совокупностью) объема n, отвечающей случайной величине Х с функцией распределения , называется последовательность наблюдаемых значений СВ Х, соответствующих n независимым повторениям эксперимента.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.
Статистическим
рядом распределения
называется последовательность пар
,
которые записывают в виде таблицы; в
первой строке – элементы
в возрастающем порядке, одинаковые
значения записывают один раз, во второй
строке – их частоты
(сколько раз
встретился элемент).
Относительной
частотой
называется отношение абсолютной частоты
к объему выборки.
Очевидно, что
,
.
При большом объеме
выборки ее элементы (варианты) объединяют
в группы, представляя результаты опытов
в виде группированного
статистического ряда.
Для этого интервал, содержащий все
элементы выборки, разбивается на k
частичных непересекающихся интервалов,
чаще имеющих одинаковую длину
,
где W
– размах выборки (разность между
максимальным и минимальным элементами
выборки). После этого определяют частоты
– количество элементов выборки, попавших
в i-тый
интервал (элемент, совпадающий с верхней
границей интервала, относится к
последующему интервалу).
Гистограммой
частот
(относительных частот) называется
ступенчатая фигура, составленная из
прямоугольников, построенных на
интервалах группированной выборки так,
что площадь каждого прямоугольника
равна частоте
(относительной частоте
).
Если длины всех
интервалов одинаковы и равны
,
то высоты прямоугольников гистограммы
частот равны
,
для гистограммы относительных частот
.
Гистограмма относительных частот – прообраз плотности распределения. Площадь гистограммы относительных частот равна единице.
Оценкой для функции
распределения
СВ Х
по случайной выборке
служит эмпирическая
функция распределения
или функция
распределения выборки,
которая определяется формулой:
,
где
– число вариант, меньших х,
n
– объем выборки.
Эмпирическая
функция распределения
определяется по значениям накопленных
относительных частот
,
где
– число вариант, меньших х.
Числовые характеристики выборки
Выборочное среднее – среднее арифметическое всех значений выборки, находится по формуле
.
Выборочная
дисперсия
вычисляется по формуле
.
Выборочное СКО вычисляется по формуле
.
Исправленная выборочная дисперсия вычисляется по формуле
.
Исправленное выборочное СКО вычисляется по формуле
.
Для группированной выборки формулы примут вид:
,
,
,
где
– средняя точка интервала группированного
ряда.
Доверительным
интервалом
называют интервал
,
который покрывает неизвестный параметр
а
с заданной вероятностью ;
здесь
– оценка параметра а,
концы
и
– доверительные
границы (они
оценивают возможную погрешность), число
– доверительная
вероятность или
надежность.
Число
характеризует точность
оценки.
Доверительный интервал для математического ожидания при большом объеме выборки и неизвестном среднем квадратическом отклонении выражается формулой
,
где
– функция, обратная функции Лапласа
(приложение 1), т.е. такое значение
аргумента в таблице функции Лапласа,
для которого функция Лапласа равна .
Замечание. Если
использовать таблицу значений функции
Лапласа
,
то точность оценки находится по формуле
.