- •Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •Свойства определителей
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Матричный метод решения слаУр
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Решить систему по формулам Крамера. Решение Формулы Крамера: . Вычислим определители:
- •Ранг матрицы
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
- •3.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
- •Для имеем:
- •3.3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
- •3.4. Решение уравнений
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •4.2. Раскрытие неопределенности вида
- •4.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •4.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •4.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •4.6. Производная сложной функции
- •4.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •4.8. Производная функции, заданной неявно
- •4.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •- Параметр.
- •4.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 5 и решение типовых задач
- •5.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •5.2. Метод интегрирования по частям
- •5.3. Интегрирование рациональных дробей
- •5.4. Интегрирование тригонометрических выражений
- •5.5. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •5.6. Несобственные интегралы 1-го рода
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 6 и решение типовых задач
- •6.1. Частные производные функции двух переменных
- •Аналогично,
- •6.2. Дифференциал функции двух переменных
- •6.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.4. Производная по направлению и градиент
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 7 и решение типовых задач
- •7.2. Размерно-однородные ду 1-го порядка
- •7.3. Линейные ду 1-го порядка
- •7.4. Линейные неоднородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •7.5. Системы дифференциальных уравнений
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 8 и решение типовых задач
- •8.1. Числовые ряды с положительными членами
- •8.2. Знакочередующиеся ряды
- •8.3. Область сходимости степенного ряда
- •8.4. Ряды Тейлора и Маклорена
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 9 и решение типовых задач
- •9.1. Классическое определение вероятности
- •9.2. Формула полной вероятности
- •9.3. Формула Бернулли и ее следствия
- •Следствия формулы Бернулли
- •9.4. Дискретные случайные величины
- •Числовые характеристики дсв
- •9.5. Непрерывные случайные величины
- •Свойства функции распределения
- •Свойства плотности распределения
- •Числовые характеристики нсв
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 10 и решение типовых задач
- •10.1. Выборка из одномерной генеральной совокупности
- •Числовые характеристики выборки
- •Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона
- •10.2. Выборка из двумерной генеральной совокупности
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Комплексные числа
- •4. Предел и производная функции одной переменной
- •5. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •6. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •8. Ряды
- •9. Теория вероятностей
- •10. Математическая статистика
- •Значения функции Лапласа
- •Сборник заданий по высшей математике
- •191015, Г. Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская, 7
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения 1 порядка. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Размерно-однородные дифференциальные уравнения 1 порядка. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов. Системы линейных дифференциальных уравнений 1 порядка с постоянными коэффициентами.
8. Ряды
Числовой ряд. Необходимый признак сходимости ряда. Сравнение рядов с положительными членами. Признаки сходимости Даламбера и Коши (радикальный и интегральный). Знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости ряда. Понятие функционального ряда. Степенные ряды. Область сходимости. Теорема Абеля, радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.
9. Теория вероятностей
Элементы комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки). Основные понятия теории вероятностей. Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей. Следствия из аксиом теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Следствия из формулы Бернулли. Формула Пуассона.
Понятие случайной величины (СВ) и ее закона распределения. ДСВ и НСВ. Ряд распределения. Многоугольник распределения. Функции распределения, ее свойства. Плотность распределения, ее свойства. Числовые характеристики СВ (математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, СКО). Начальные и центральные моменты СВ. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальный закон распределения и его параметры. Вероятность попадания СВ, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Функция Лапласа. Дискретные и непрерывные системы случайных величин (ССВ). Система 2-х СВ, матрица распределения. Функция распределения двумерной СВ, ее свойства. Числовые характеристики ССВ. Корреляционный момент, коэффициент корреляции, корреляционная матрица. Закон больших чисел. Предельные теоремы.
10. Математическая статистика
Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Статистический ряд распределения. Группированный статистический ряд. Полигон частот и относительных частот. Гистограмма частот и относительных частот. Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Числовые характеристики выборки. Понятие точечной оценки. Критерии качества точечных оценок. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы. Основные этапы решения задачи о статистической проверке гипотез. Критерий согласия (Пирсона). Выборка из двумерной генеральной совокупности, ее характеристики. Функция регрессии. Метод наименьших квадратов для нахождения неизвестных параметров функции регрессии.
Приложение 1