3. Геометрические характеристики плоских сечений

3.1. Определение основных геометрических параметров

При прочностном анализе стержневых конструкций, рабо­тающих на растяжение — сжатие, использовались такие гео­метрические параметры как длина стержня, площади попереч­ного и наклонного сечений. При иных видах нагружения (кручение, изгиб, ...) в расчетных формулах используются и другие геометрические параметры — моменты площади попе­речного сечения. Описание их начнем с формального опреде­ления самой площади поперечного сечения.

Площадь поперечного сечения. Пусть имеется сечение произ­вольной формы. Рассмотрим его относительно некой заданной декартовой системы координат uOv (рис. 3.1). В сечении выде­лим элементарную площадку dA с координатами и, v. Тогда под площадью сечения А понимается интеграл по области сечения:

Очевидно, что данный интеграл инвариантен (независим) от выбора системы осей координат. Размерность площади — длина в квадрате (мм², см², м²,...).

Статические моменты площади. Статическими моментами площади (или моментами площади первого порядка) относи­тельно осей и, v соответственно называются интегралы:

(3.1)

(3.2)

Размерность этих характеристик — длина в кубе (мм³, см³,м³, ...).

Ц ентр тяжести сечения — точка С с координатами ис, vc через введен­ные понятия статических моментов определится как

(3.3)

Рис. 3.1. Произвольное поперечное сечение в заданной (uOv) и цент­ральной (х₀Су₀) системах осей координат

Оси координат х₀Су₀, проходящие через тяжести сечения, называются центральными осями. Статические моменты площади сечения относи­тельно центральных осей равны нулю (S_x0 = S_y0 =0).

Моментами инерции сечения (или моментами площади вто­рого порядка) относительно осей и, v называются интегралы по области сечения:

Ju = ;

Jv = . (3.4)

Центробежный момент инерции сечения есть интеграл

J_uv= u*vdA. (3.5)

Полярный момент инерции сечения задается интегралом

J_p = ρ²dA, (3.6)

где ρ — расстояние от начала принятой системы осей коорди­нат до элементарной площадки dA(p² = u²+v²), поэтому поляр­ный момент инерции сечения есть сумма осевых моментов инерции:

J_p= p²dA= (u²+v²)dA = J_v+J_u.

Размерность моментов инерции — длина в четвертой степе­ни (мм⁴, см⁴, м⁴, ...).

При прочностном анализе балок используются также такие характеристики сечения, как моменты сопротивления площади сечения относительно центральных координатных осей (x₀Cy₀):

; ,

— где , максимальные расстояния от центральных координатных осей до наиболее удаленной от них точки сече­ния.

Здесь J_x0 = ; J_y0 = ;

При прочностном анализе валов используется понятие по­лярного момента сопротивления: ,

где полярный момент инерции J_p0 определяется относительно начала координат центральных осей:

J_p0 = , .

Рассмотрим примеры вычисления основных геометрических характеристик для прямоугольного и круглого сечений.

Пример 1. Имеется прямоугольное сечение со сторонами b и h. Рас­считаем геометрические характеристики относительно центральных осей симметрии Х₀С_y0 и оси u, смещенной относительно центральной на h/2.

1. Площадь прямоугольника A = b*h.

2. Статические моменты площади относительно центральных осей равны нулю

(S _x0 =S _y0 =0).

3. Считаем момент инерции сечения относительно центральной оси х ₀:

. (3.8)

Здесь принято, что элемент площади dA = bdy₀ (рис. 3.2). Аналогично определяем момент инерции сечения относительно оси у₀:

, (3.9)

где dA = hdx₀ .

Рис. 3.2. Расчетная схема для прямоугольного

сечения

4. Моменты сопротивления сечения относи­тельно центральных осей определяются как

,

W_y0 = .

5. Рассчитаем статический момент и момент инерции площади сечения относительно оси и, которая параллельна центральной оси х₀ и сме­щена относительно ее на расстояние h/2:

S_u= , |

где dA = bdv, т. е. он равен произведению площади сечения A=b*h на расстояние между осями h/2

,

или момент инерции относительно оси и есть момент инерции относи­тельно центральной оси x_o(J_Xo=bh³ /12), плюс произведение площади сечения A = b*h на квадрат расстояния между осями h²/4.

Пример 2. Определим геометрические характеристики сплошного круглого сечения диаметра d = 2R и трубчатого сечения с внутренним радиусом r и внешним R (рис. 3.3).

1. Площадь круга A = πR² = πd² /4.

2. Статические моменты относительно центральных осей равны нулю.

3. Для определения полярного момента инерции выберем элементарную площадку в виде тонкого кольца шириной

dρ₀(0<ρ₀²<R):dA = 2πρ_odρ₀ ,

тогда , (3.10)

т. к. для круга J_x0 = J_y0 и J_po=J_xo+J_yo , то осевые моменты инерции равны . (3.11)

4. Полярный момент сопротивления равен

.

Осевые моменты сопротивления определяется как

.

5. Для трубчатого поперечного сечения полярный момент инерции есть разность моментов инерции сплошных сечений радиусом R и r соответственно:

, (3.12)

где .

Аналогично определяются осевые момен­ты инерции:

; (3.13)

полярный момент сопротивления:

; (3.14)

осевые моменты сопротивления:

. (3.15)

Рис. 3.3. Расчётные схемы круглого и трубчатого

сечений