2.1 Сдвиг. Кручение

2.1.1 Сдвиг Деформации. Касательные напряже­ния вызывают угловые деформации, так называемые сдвиги. Они характеризуют­ся искажением прямого угла между двумя взаимно перпендикулярными волокнами, взятыми в деформированном теле.

Потенциальная энергия деформации.

Выделим из тела элемент в виде единич­ного куба, грани которого являются главными площадками, на которых дей­ствуют напряжения σ₁ , σ₂, σ₃. На основа­нии выражения (2.11) и в соответствии с принципом суперпозиции удельная потенциальная энергия деформации при объемном напряженном состоянии

(2.24)

Воспользовавшись обобщенным зако­ном Гука (2.20), исключим деформации и в результате получим

и = . (2.25) Полная удельная потенциальная энер­гия деформации (и) складывается из удельной потенциальной энергии изме­нения объема (и_V) и удельной потенциаль­ной энергии, связанной с изменением формы (u _ф). Рассматривая всестороннее растяжение единичного кубика, по гра­ням которого действуют одинаковые глав­ные напряжения, можно найти значение и_V и вычесть его из выражения полной удельной потенциальной энергии де­формации, определяемой по формуле (2.25). В результате получим выраже­ние удельной потенциальной энергии формоизменения

(2.26)

При плоском напряженном состоя­нии, т. е. при

(2.27)

Для случая простого растяжения . (2.28)

Рассмотрим плоский элемент BCDE (рис. 2.1.1) упругого тела, находящегося под действием сил Р₁ Р₂, ..., Р_п, который претерпел угловые деформации. Абсолют­ный сдвиг элементарного отрезка CD от­носительно отрезка BE, отстоящего от него на малом расстоянии h, будет СС₁ = а.

Относительным сдвигом называется отношение a/h. Так как деформации весьма малы и практически не меняют первоначальных размеров тела, то

, (2.1.1)

где γ — угол сдвига.

Закон Гука при сдвиге.

Пусть на брус (рис. 2.1.2, а) с площадью поперечного се­чения F действуют сдвигающие силы Р. Воспользуемся методом сечений. Мыс­ленно отбросим часть бруса, лежащую справа от сечения т — т (рис. 2.1.2, б). Действие отброшенной части на остав­шуюся заменим силами упругости ин­тенсивности , действующими в сече­нии т — т (рис. 2.1.2, в). Равнодейст­вующей этих сил является поперечная сила Q_v. Условие равновесия оставшей­ся части имеет вид

, (2.1.2)

откуда Q_y = Р. Поскольку можно счи­тать, что касательные напряжения τ_ху направлены вертикально и по сечению распределяются равномерно, их значение

(2.1.3)

Относительная деформация и напря­жение при сдвиге связываются законом Гука:

(2.1.4)

где G — коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости второго рода (модулем сдвига).

В общем виде соотношение между мо­дулем сдвига, модулем упругости пер­вого рода и коэффициентом Пуассона выражается формулой

_. (2.1.5)

Рис 2.1.1. К определению абсолютного и относи­тельного сдвига элемента деформированного тела.

Для стали G — 77...85 ГПа; для чу­гуна серого G = 45 ГПа (подробные све­дения даны в справочниках.

Закон Гука при сдвиге, принимая во внимание выражения (2.1.1) и (2.1.3), можно записать в виде .

Произведение GF называют жест­костью бруса при сдвиге.

Уравнение прочности. При расчетах на срез уравнение прочности имеет вид

(2.1.6)

где [τ_ср] — допускаемое напряжение на срез, выбираемое чаще всего как часть допускаемого напряжения на растяже­ние: [τ_ср] .

Рис. 2.1.2. Напряжение в брусе, испытывающем сдвиг

2.1.2. Кручение

Деформации. При действии на стер­жень пар сил, плоскости действия кото­рых перпендикулярны к оси стержня, происходит деформация кручения. Наблю­дая характер искажения сетки прямо­угольников, нанесенных на боковой по­верхности круглого стержня, можно за­метить, что контуры поперечных сече­ний в процессе деформации остаются плоскими, расстояния между ними не изменяются, а первоначально прямоли­нейные образующие превращаются в вин­товые линии (рис. 2.1.3). Радиусы сече­ний при деформации остаются прямоли­нейными.

Рис. 2.1.3. Схема деформации при кручении круглого бруса

Поперечные сечения, оста­ваясь плоскими, поворачиваются вокруг оси стержня друг относительно друга на некоторые углы φ₁, φ₂, φ₃ и т. д. Двумя смежными сечениями выделим элемент деформированного бруса ради­уса r в виде диска толщиной dx (рис. 2.1.4). У поверхности элемента рассмот­рим элементарный прямоугольник abcd. Выделенный элементарный прямоуголь­ник испытывает деформацию сдвига: — абсолютный сдвиг и — относительный сдвиг (угол сдви­га). Из рис. 2.1.4 следует, что , тогда .

Для прямоугольника, выделенного внутри бруса на цилиндре радиуса р, по аналогии запишем

(2.1.7)

Рис. 2.1.4. К определению абсолютного и относительного сдвига при кручении

Напряжение. В соответствии с зако­ном Гука при сдвиге можно записать

. (2.1.8)

Как видно из выражения (2.1.8), по данному сечению касательные напря­жения изменяются линейно от нуля в центре сечения до максимальных у по­верхности бруса (рис. 2.1.5, б):

. (2.1.9)

Воспользуемся методом сечений и рас­смотрим равновесие части бруса длиной х (рис. 2.1.5, а), лежащей слева от сече­ния.

Рис. 2.1.5. Напряжение при кручении круглого бруса

Составим уравнение равновесия в форме . Момент Т внешней крутящей пары уравновешивается кру­тящим моментом М_к внутренних сил упругости, распределенных в поперечном сечении:

- Т + М_к = 0. Крутящий мо­мент М_к равен сумме моментов относи­тельно продольной оси элементарных касательных сил упругости: .

После подстановки значения x_xt из формулы (2.1.8) получим

,

или (2.1.10)

где J_p = — полярный момент инерции поперечного сечения стержня.

Для круглого сечения диаметра d по­лярный момент инерции J_p = . Длякольцевого сечения с наружным диамет­ром d и внутренним d₀ полярный момент инерции .

Из формулы (2.1.10) следует

(2.1.11) Подставляя полученное значение для в выражение (2.1.8), получаем

, (2.1.12)

где М_к — крутящий момент в данном сечении, численно равный сумме момен­тов всех сил, действующих по одну сто­рону от сечения относительно продоль­ной оси; ρ — расстояние точки, в кото­рой нужно определить напряжение, до центра тяжести сечения; J_p — полярный момент инерции сечения.

Уравнение прочности. Из формулы (2.1.8) видно, что касательные напряже­ния в сечении изменяются по линейному закону. Следовательно,

, (12.13)

где W_p — полярный момент сопротивле­ния сечения, м³. Для круга

.

Момент внешней крутящей пары через мощность и частоту вращения выражается так: , (2.1.14)

где N — мощность, кВт; п — частота вращения, об/мин.

Из выражения (2.1.11) можно найти относительный угол закручивания

. (2.1.15)

Полный угол поворота φ одного се­чения относительно другого, отстоящего от него на расстоянии l , получим, интегрируя выражение в пределах от 0 до φ и от 0 до l:

. (2.1.15)

Произведение GJ_р называется жест­костью бруса при кручении.

Из выражения (12.15) получим фор­мулу

, где [φ] — допускаемый угол закручива­ния на длине l стержня.

Диаметр поперечного сечения опре­деляют из условий прочности и жест­кости и принимают больший.