2.3.3. Основные дифференциальные зависимости при изгибе

Связь между изгибающим моментом и поперечной силой. Рассмотрим попереч­ный изгиб бруса, загруженного сосредо­точенной силой (рис. 2.3.4). В сечении, взятом на расстоянии х от левой опоры, в пределах второго участка действуют поперечная сила

и изгибающий момент

M_z = R_Ax — Р (х — а).

(2.3.3)

Рис. 2.3.6. К изгибу бруса распределенной на­грузкой произвольной интенсивности

Для сечения, взятого на расстоянии х + dx от левой опоры, можно записать

M_x+dx = М_z + dM, = R_A(x + dx)— P(x + dx — a). (2.3.4)

Из уравнений (2.3.3) и (2.3.4) находим dM_z = M_x+dx — М_г = R_Adx — Pdx;

dM_z = (R_A — P)dx = Qdx. (знаем , что )

Отсюда имеем . (2.3.5)

Этот вывод можно распространить и для любой другой нагрузки.

Связь между поперечной силой и рас­пределенной нагрузкой. Пусть у бруса АВ с распределенной нагрузкой интен­сивности q(x) (рис. 2.3.6) поперечная сила в произвольном сечении, взятом на рас­стоянии х от левого конца бруса, равна Q_y. Тогда в сечении с абсциссой х + dx поперечная сила равна Q_y + dQ_y.

Так как dQ_y = q (x) dx, то (зная, что ) . (2.3.6)

Если продифференцировать по х ра­венство (2.3.5), то с учетом уравнения (2.3.6) получим (2.3.7)

Уравнения (2.3.5), (2.3.6) и (2.3.7) яв­ляются основными дифференциальными зависимостями при изгибе. Эти зависи­мости можно использовать в качестве средства контроля при построении эпюр поперечных сил и изгибающих момен­тов.

3.3.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе

Д еформации. Брус постоянного по­перечного сечения (рис. 3.3.7, а) на­грузим внешними моментами М_е, прило­женными к торцам. Под их действием брус изогнется: его верхние волокна укоротятся, а нижние удлинятся (рис. 3.3.7, б). В средней по высоте части бру­са находится слой волокон, который не будет изменять свою длину, — нейтраль­ный. Положение этого слоя NN заранее неизвестно. Линия пересечения ней­трального слоя с поперечным сечением бруса называется нейтральной осью или линией.

Рис. 3.3.7. Напряжения при чистом изгибе

При изгибе справедлива гипотеза плос­ких сечений Бернулли: сечения, быв­шие плоскими до деформации, остаются плоскими и после деформации и лишь поворачиваются относительно соответ­ствующих нейтральных линий.

Плоскостями, перпендикулярными к оси Oх, выделим элемент бруса длиной dx и рассмотрим волокно п — n, распо­ложенное в нейтральной плоскости, и волокно т — т на расстоянии у₀ от п — п.

До деформации mm = пп = dx. В процессе деформирования сечения ab и

а повернутся одно относительно другого на некоторый угол dφ. Если ра­диус кривизны нейтрального слоя обоз­начить через ρ, то радиус кривизны волокна

т — т будет . После де­формации волокно п — п сохранит свою длину неизменной: пп = dx = pdφ, а волокно т — т удлинится: mm = (р + у₀) dφ.

Абсолютное удлинение волокна т — т

.

Относительное удлинение этого во­локна

(3.3.8)

Напряжения. Мысленно отбросим часть бруса, лежащую слева от сечения , и рассмотрим равновесие оставшей­ся правой части (рис. 3.3 7, в). По сече­нию будет действовать напряжение, которое можно разложить на нормаль­ную σ_х и касательную τ_хy составляющие. По элементарной площадке dF дейст­вует нормальная сила σ_x F, момент ко­торой относительно нейтральной оси будет σ_xy_odF = dM. Поскольку попе­речная сила, являющаяся проекцией на плоскость сечения главного вектора внутренних сил упругости, действующих по сечению, при чистом изгибе равна нулю и, принимая во внимание, что си­ла, лежащая в плоскости сечения, не может дать момента относительно любой оси, лежащей в этой же плоскости, каса­тельное напряжение τ_ху должно быть равно нулю и в дальнейшем при рассмот­рении чистого изгиба не учитывается. Запишем уравнения равновесия для пра­вой части бруса

Р(х)= = 0; М (z) = = 0, (3.3.9)

где у₀ — расстояние от центра тяжести площадки до оси. Первое из уравнений (3.3.9) дает

В соответствии с законом Гука, учи­тывая формулу (3.3.8), имеем

, (3.3.10) следовательно, откуда .

Выражение является статическим моментом площади сечения отно­сительно нейтральной оси. Так как ста­тический момент площади равен нулю относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, то нейтральная линия также должна проходить через центр тяжести сечения. Стати­ческий момент сечения относительно лю­бой другой оси (не центральной) не равен нулю.

В соответствии со вторым уравнением (3.3.9) внешний момент оказывается рав­ным изгибающему моменту от действия нормальных напряжений:

откуда

, (3.3.11)

г де — осевой момент инерции сечения относительно нейтральной оси z. Осевыми моментами инерции сечения (рис. 3.3.8) относительно любых взаимно перпендикулярных осей х и у называ­ются интегралы и

.

Рис. 3.3.8. К определению моментов инерции се­чения

Центробежным моментом инерции отно­сительно двух взаимно перпендикуляр­ных осей называется интеграл . Размерность моментов инерции — [м⁴]. Осевые моменты инерции всегда положительны, центробежный мо­мент инерции может быть положитель­ным, отрицательным или равным нулю (если хотя бы одна из осей является осью симметрии сечения).

Ось, проходящая через центр тяжести сечения С с координатами а и b (рис. 3.3.8), называется центральной. Оси, от­носительно которых центробежный мо­мент инерции равен нулю, а осевые мо­менты инерции становятся экстремаль­ными, называются главными. Главные центральные моменты инерции выража­ются так:

Формулы для определения моментов инерции простейших фигур содержатся в таблицах, приведенных в справочниках.

В соответствии с выражением (3.3.11) можно записать

. (3.3.12)

Тогда на основании выражения (3.3.10) получим

, (3.3.13)

где М_z — изгибающий момент в данном cечении бруса; у — расстояние от точки, в которой определяется нормальное напряжение, до нейтральной оси; J_z — осевой момент инерции поперечного сечения бруса относительно нейтральной оси.

Уравнение прочности. Из формулы 3.3.13) видно, что нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и, следовательно,

, (3.3.14) где W_z = осевой момент сопротивления сечения, [м³ ]; для прямоуголь­ного сечения высотой h и шириной b W_z = ; для круга W_z = ; для прокатных профилей значения W_z при­ведены в таблицах контрольных заданий.