3.2. Некоторые свойства геометрических характеристик плоских сечений

Перечислим основные свойства геометрических характери­стик плоских сечений, используемые при прочностном анали­зе элементов конструкций, работающих на кручение, изгиб.

1. Если сечение имеет ось симметрии, то центробежный мо­мент инерции относительно координатных осей, одна из кото­рых есть ось симметрии, равен нулю.

Разобьем сечение на две симметричные части I и II, опреде­лим центробежный момент инерции сечения как сумму двух моментов и (рис. 3.4):

Juv= + (3.16)

В силу симметрии фигур I и II для элементарных площадок с координатой vi = v₂ имеем u₁ = -и₂, поэтому

= - , Juv = 0. (3.17)

Часто в практике прочностного анализа приходится рассмат­ривать сложные (или составные) сечения, под которыми по­нимаются сечения, составленные либо из нескольких связан­ных простых геометрических профилей (имеющих в сечении прямоугольники, треугольники, круги, ...), либо из так назы­ваемых специальных стандартных профилей (имеющих в се­чении формы двутавра, швеллера, уголка,...). Геометрические характеристики сечений специальных профилей даются в таб­лицах, называемых сортаментами. В приложении приведе­ны таблицы наиболее употребляемых профилей.

Для сложных сечений специально оговаривается еще одно свойство геометрических характеристик.

2. Из определения основных геометрических характеристик (3.1) - (3.7) следует, что площади, статические моменты и осевые моменты инерции площади сложного сечения относительно не­которой оси соответственно равны сумме площадей, статических моментов, осевых моментов инерции отдельных частей сечения определенных относительно этой же оси (рис. 3.5). Координаты центра тяжести сложных сечений определяются по формулам:

; . (3.18)

где A₁ , u_{i ,} v_i — соответственно площадь и координаты центра тя­жести каждой из составляющих фигур (i — 1, 2 ,... n), n — число таких сечений. - площадь и статические моменты всего сечения.

Рис. 3.4. Расчетная схема определения центробежного момента инерции сечения с осью симметрии

Рис. 3.5. Сложное сечение:

A_i, u_i, v_i — соответственно площадь и коорди­наты центра тяжести каждой из соответству­ющих фигур (i = 1, 2 , ... n), n — число таких сечений,

IA_t, S_u, S_v — площадь и статические моменты всего сечения (х₃О₃у₃ — собственные центральные оси части 3 сложного сечения)

3. Зависимость между мо­ментами при параллельном пе­реносе осей

координат.

П усть относительно первоначально выбранных координатных осей uOv определены основные гео­метрические параметры — ста­тические и моменты инерции площади сечения (S_u, S_v, J_u, J_v, J_uv). Пересчитаем эти характе­ристики для новой системы осей

координат, полученной из исходной параллельным перено­сом осей:

u_l=u+b; v₁ = v+a;

; (4.19)

; (4.20)

Рис. 3.6. Схема для расчета геометрических характеристик

при параллельном переносе осей

Вывод 1. При параллельном переносе осей координат стати­ческий момент площади изменяется на величину, равную про­изведению площади сечения на расстояние между осями.

Вывод 2. Статические моменты возрастают с увеличением расстояния от центральных осей (оси С_x0 и С_у0) (рис. 3.6), от­носительно которых они равны нулю (S_x0=0 ; S_yo=0).

Моменты инерции сечения относительно новых осей будут равны:

; (3.21)

; (3.22)

(3.23)

Замечание. Если исходные оси координат — центральные, то формулы для моментов инерции приобретают вид

(v_{1 =} x₀ + b₁, v₁ = y₀ +a₁ )

(3.22)

Вывод 3. Минимальные значения моментов инерции сече­ния получаются относительно центральных осей.

Вывод 4. При параллельном переносе осей координат момен­ты инерции рассчитываются по формулам (3.21) - (3.23). В слу­чае, если исходные оси центральные, то по формулам (3.24).