4.3.5. Касательные напряжения при поперечном изгибе

Деформации и напряжения. При по­перечном изгибе от действия внешних нагрузок в сечениях, перпендикулярных к оси бруса, возникают касательные на­пряжения. Рассмотрим два сечения шарнирно-опертого бруса прямоугольного поперечного сечения (рис. 3.3.9, а), одно из которых находится на расстоянии х от начала координат, а второе — на расстоянии х + dx. По сечению т — т будет действовать изгибающий момент М_г = R_ax, а по сечению п — п момент М_г + dМ_г = R_a (х + dx).

Рис. 3.3.9. Напряжения, действующие на элемент бруса при поперечном изгибе

Кроме того, по сечениям т — т и п — п действует поперечная сила Q = R_A.

С достаточной точностью можно счи­тать, что формула для нормальных на­пряжений (3.3.13), полученная для чис­того изгиба, справедлива и в случае по­перечного изгиба. Выделим брусок mm'n'nbb'a'a (рис. 3.3.9, б) и рассмотрим условия его равновесия. По левой грани бруска от действия внешнего момента возникают нормальные напряжения , по правой грани действует нормальное напряжение . Кроме того, по этим боковым поверх­ностям действуют касательные напря­жения τ_ху. Полагаем, что напряжения τ_ху вертикальны и не меняются по ши­рине сечения. По нижнему основанию бруска будут действовать касательные напряжения τ_ух, существование которых обусловлено законом парности касатель­ных напряжений и подтверждается опы­том. Наблюдением установлено, что кон­цы составного бруса (рис. 4.3.10, а) при изгибе силой Р образуют ступеньки (рис. 4.3.10, б), поскольку обе части бру­са ничем не скреплены. У сплошного бруса (рис. 4.3.10, в) таких ступеней нет, и, следовательно, по нейтральной поверхности должны существовать внут­ренние касательные силы упругости, препятствующие разрушению (разъеди­нению) бруса по нейтральному слою.

Формула Журавского. Из условия равновесия выделенного бруска

(см. рис. 13.9, б) можно записать

= N — N' + Т = 0. (3.3.15)

г де N и N' — равнодействующие нор­мальных сил упругости, действующих соответственно полевой и правой граням; Т — равнодействующая касательных сил упругости, действующих по нижнему основанию.

Равнодействующие N, N' и Т опреде­ляются по формулам:

; ; .

где F — площадь боковой грани бруска; b — ширина бруска.

Рис. 3.3.10. К возникновению касательных на­пряжений в нейтральном слое бруса

Подставляя значения N, N' и Т в уравнение (3.3.15), получаем

откуда

Поскольку для данного сечения М_г и J_г — величины постоянные, то, произ­ведя необходимые преобразования, по­лучаем ,

где S_z = — статический момент боковой поверхности бруска относитель­но оси 2. Поскольку , то

. (3.3.16)

Ф ормула (3.3.16) носит название фор­мулы Журавского и справедлива для брусьев, у которых высота сечения боль­ше его ширины.

Рис 3.3.11. К определению касательных напря­жений, действующих в произвольной точке сечения

Для элемента бруса (рис. 3.3.11, а) при определении каса­тельного напряжения в точке А попе­речного сечения т — т в формулу (3.3.16) необходимо подставить: Q_y — значение поперечной силы, действующей по сече­нию т — т; S_z = — статический момент заштрихованной части сечения относительно нейтральной

оси z; J_z = dF — момент инерции всего сечения относительно этой же оси z;

b — ширина сечения на уровне точки, в ко­торой определяют напряжения.

Для прямоугольного сечения (рис. 3.3.11, б)

и .

Подставляя это в формулу Журавско­го, получаем

= .

Как видно из этого уравнения, каса­тельные напряжения у верхних и ниж­них поверхностей равны нулю и дости­гают наибольшего значения в нейтраль­ном слое, т. е. при у₀ = 0.

.

Касательные напряжения по попереч­ному сечению имеют один и тот же знак и меняются по закону квадратной пара­болы.