4. Перемещения при изгибе

Дифференциальное уравнение упру­гой линии.

Брусья, применяемые в ин­женерных сооружениях, должны обла­дать не только определенной прочнос­тью, но и достаточной жесткостью. Допускаемые прогибы устанавливаются нормами. Форму изогнутой оси бруса можно определить при помощи выражения для кривизны (см. курс математики)

. (4.1)

В то же время из подробного курса сопротивления материалов известно, что в зависимости от величины изгибающего момента M_z (прилагаемого к брусу вдоль оси) и момента инерции его сечения J_z, уравнение упругой линии изогнутого бруса записывается в виде

. (4.2)

Приравнивая эти значения, получаем

= . (4.3)

Поскольку для бруса постоянного се­чения , J_z = const, то левая часть урав­нения (4.3) зависит только от М_z. Если функция М_z(х) известна, то диф­ференциальное уравнение (4.3) можно использовать для отыскания упругой линии бруса. Уравнение это нелиней­ное и неоднородное второго порядка. Интегрирование его сопряжено с боль­шими трудностями. Однако это уравне­ние можно упростить, если учесть, что для большинства конструкций мак­симальный прогиб обычно составляет весьма малую долю пролета l: у_таx < < (0,003...0,002) l. Следовательно, угол поворота сечения φ (х) будет мал по сра­внению с единицей

и уже совсем ничтожно мала по сравнению с единицей величина , тогда можно положить и задача оты­скания уравнения упругой линии сведется к нахождению функции у(х) из дифференциального уравнения

. При М_г > 0 кривизна > 0 (рис. 4.1, а);

при М_г < 0 кривизна < 0 (рис. 4.1, б). Следовательно, для при­нятой системы координат в правой части дифференциального уравнения следует поставить знак плюс:

. (4.4)

Величина EJ_z называется жесткостью бруса при изгибе.

Рис. 4.1. Связь кривизны упругой линии с изгибающим моментом

Формулы для определения опорных реакций, прогибов у углов поворота оси балки при простейших схемах нагружения приведены в табл. 4.1

Таблица 4.1 Расчётные формулы для определения прогибов и углов поворота в однопролётных балках

Р — сосредоточенная сила или полная нагрузка ; р — интенсивность сплошной нагрузки; L — внешний изгибающий момент , Q — по­перечная сила ; М — изгибающий момент; v — прогиб в сечении с координатой х ; — угол поворота на конце балки в радианах;

f = v_max—стрела прогиба, Е—модуль продольной упругости материала балки. Предполагается, что горизонтальная ось, проведенная в попереч­ном сечении через его центр тяжести, совпадает с главной осью сечения; по отношению к ней момент инерции обозначен J, max (-М) обозна­чен отрицательный момент с наибольшим абсолютным значением.

Правило знаков. Реакции, направленные вверх, поперечная сила Q и изгибающий момент М, действующие на левую часть балки соответ­ственно вверх и по часовой стрелке, считаются положительными; прогиб вниз и угол поворота по часовой стрелке считаются положительными

Схема балки и нагрузки
1. Статически определимые балки
1.Консоль. Сила на конце		2. Консоль. Сплошная равномерная нагрузка	3. Консоль. Сплошная нагрузка по треугольнику
Опорные реакции и поперечные силы
В = P; Q = -P;	B = P = pl; Q = - Px / l;			B = P = Pl / 2; Q = -Pl / x;
Уравнение изгибающего момента; величина и место наибольшего изгибающего момента
M = -Px; max M = 0; max(- M) = -Pl; (в В)		; ; (в В);	; (в В); (в А);
Уравнение упругой линии, стрела прогиба, углы поворота концов балки
; (в B); (в А);		; ( в 1); (в А);	(в А).

Продолжение табл. 4.1

Схема балки и нагрузки
Консоль. Момент на конце		5. Балка, свободно опертая по концам. Сила в середине про­лета	6. Балка, свободно опёртая по концам. Сила в пролёте
Опорные реакции и поперечные силы
B = 0; Q = 0;	; ; (от А до 1) ; (от 1 до В)			A = ; ; (от А до 1); (от1 до В);
Уравнение изгибающего момента; величина и место наибольшего изгибающего момента
M = -L; max (-M) = -L; (от А до В)		; (от А до1) ; (от1 до В) (при x = l/2);	; (в В); (в А);
Уравнение упругой линии, стрела прогиба, углы поворота концов балки
; (в А); ; θ = (в А);		(от А до 1); f = (в 1); ( в А );	прогиб при ; ( в А ); (в В);

Продолжение табл. 4.1

Схема балки и нагрузки
7. Балка, свободно опертая по кон­цам. Сплошная равномерная на­грузка		8. Балка, свободно опертая по концам. Сплошная равномерная нагрузка р части пролёта d =b + c/2		9. Балка, свободно опертая по концам. Нагрузка по треуголь­нику
Опорные реакции и поперечные силы
; ;	; ; ; (от A до 1); (от 1 до2); (от 2 до В);				A = ; ; ;
Уравнение изгибающего момента; величина и место наибольшего изгибающего момента
M = ; max (M) = (при x = l/2);		; (от А до1) ; (от1 до 2) (от 2 до В);		; (в В); (при x = 0.577l);
Уравнение упругой линии, стрела прогиба, углы поворота концов балки
; (при x = l/2); (в А);				( при x=0.519l); ( в А ); (в В);