Раздел 2

Прочность при растяжении, сжатии, сдвиге, кручении и изгибе

2.1. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса

Брусья и стержни. Деформацию рас­тяжения (сжатия) исследуют на брусьях или стержнях — телах, отличающихся тем, что у них один размер значительно больше двух других. В зависимости от формы геометрической оси различают прямолинейные и криволинейные бру­сья. Стержнем обычно называют тонкий и длинный брус с прямолинейной осью. Размеры и форма поперечных сечений стержня могут быть постоянными или переменными.

Р астяжение стержня происходит, ког­да к его концам приложены силы, на­правленные вдоль его оси. Выводы, от­носящиеся к деформации центрального растяжения, чаще всего применимы и к центральному сжатию. Существенные различия этих деформаций наблюдаются при изучении разрушения материалов, а также при исследовании поведения весьма длинных и тонких стержней, для которых сжатие сопровождается, как правило, выпучиванием.

Рис.2.1

Закон Гука. Исследуем сначала слу­чай, когда прямолинейный брус посто­янного поперечного сечения площадью F растягивается равномерно распределен­ными нагрузками интенсивности q, при­ложенными на его торцах параллельно геометрической оси (рис. 2.1,а).

Равнодействующие распределенных усилий Р = qF будут направлены па­раллельно геометрической оси и при­ложены в центрах тяжести торцовых сечений. Для такой деформации брусьев практикой подтверждается гипотеза плоских сечений — гипотеза Бернулли, в соответствии с которой сечения, бывшие плоскими до деформации, оста­нутся плоскими и после деформации; поперечные сечения а — a, b — b, ..., т — т после деформации лишь смес­тятся поступательно друг относительно друга. В связи с этим можно предполо­жить, что внутренние силы упругости будут распределены равномерно по лю­бому плоскому сечению (напряжение а_х = const).

Рассмотрим равновесие части стерж­ня, лежащей слева от сечения т — т (рис. 2.1, б). На выделенную часть по сечению т—т действуют внутренние силы упругости, имеющие равнодейст­вующей нормальную силу N, а также равномерно распределенная нагрузка (с интенсивностью q) на левом торце, имею­щая равнодействующей силу Р. Из условия равновесия выделенной части имеем, что N = Р, а поскольку σ_х = const, получаем

(2.1)

При центральном растяжении нагруз­ками q = const цилиндрический стер­жень с первоначальной длиной l (рис. 2.2) получает абсолютное удлинение

Δ1 = 1₁ - l. Отношение абсолютного удлинения (при сжатии — абсолютного укорочения) к первоначальной длине бруса называется относительной про­дольной деформацией или относитель­ным удлинением (укорочением)

. (2.2)

Растяжение стержня сопровождается уменьшением его поперечных размеров. Отношение абсолютного сужения Δd = d — d₁, к первоначальному размеру поперечного сечения d называется от­носительной поперечной деформацией . Отношение относительной по­перечной деформации к продольной, взя­тое по абсолютной величине, т. е. (2.3)

является величиной постоянной для дан­ного материала и носит название коэф­фициента Пуассона. Для стали μ = 0,24...0,30; для чугуна μ = 0,23...0,27).

В результате обобщения наблюдений за деформациями упругих тел установ­лено, что действующее напряжение про­порционально относительной деформа­ции. Это условие называется законом Гука:

, (2.4)

где Е — коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости первого рода (модуль упругости при растяжении — сжатии) и характеризу­ющий упругие свойства материала. Для стали Е = 200...210 ГПа; для чугуна Е = 115...160 ГПа. Если в выражение (2.4) подставить значения σ_х и ε_х соответственно из урав­нений (2.1) и (2.2), то получим другую форму записи закона Гука:

(2.5)

П роизведение EF называют жест­костью бруса при растяжении (сжатии).

Рис. 2.2. Изменение размеров бруса при цент­ральном растяжении

Уравнение прочности. При расчете на прочность детали, работающей на рас­тяжение или сжатие, возникает вопрос: какое значение напряжения σ можно считать безопасным? Очевидно, это на­пряжение должно быть меньше некото­рого опасного σ_ОП, при котором воз­никает возможность разрушения дета­ли или нарушения условий нормальной ее эксплуатации. Наибольшее безопас­ное значение напряжения называется допускаемым напряжением и обозна­чается [σ]. Тогда условие прочности при растяжении (сжатии) будет иметь вид

, (2.6)

где N_max — максимальное значение нор­мальной силы. Допускаемое напряже­ние обычно выражается в долях от опас­ного:

, (2.7)

где п — коэффициент запаса (безопас­ности).

2.2. Статически неопределимые системы

Последовательность решения задачи.

Статически неопределимой называется система, у которой неизвестных внутрен­них сил больше того количества урав­нений, которое дает статика примени­тельно к данной задаче. Определение действующих усилий в статически не­определимых конструкциях возможно лишь при учете деформаций, которые эти конструкции претерпевают.

1. На примере деформации стержня и втулки (из разных материалов), зажа­тых между двумя жесткими плитами (рис. 2.3, а), рассмотрим порядок ре­шения статически неопределимых задач, Условно отбрасываем закрепления, вызывающие появление «лишних» реак­ций опор. Действие отброшенной за­креплений заменяем приложенными неизвестными реакциями. Полученная система называется основной. В рассмат­риваемом примере реакцию стержня обо­значим R_С, втулки — R_B.

2. Для получившейся основной систе­мы составляем уравнение статики

2P(x) = R_В + R_С -P = 0. (2.8)

3. В качестве дополнительных урав­нений привлекаем так называемые урав­нения совместности деформаций (урав­нения перемещений), отражающие фи­зические условий деформации системы. Общее число уравнений статики и урав­нений совместности должно быть рав­но числу искомых неизвестных реакций.

Ввиду того, что под действием внеш­них сил втулка и стержень получают одинаковые укорочения, уравнение сов­местности при использова­нии формулы Гука

Решив это уравнение совместно с урав­нением (2.8), получим

; .

По найденным усилиям R_B и R_С далее определяем напряжения и деформации, как показано выше.

Температурные напряжения. Измене­ние температуры элементов статически неопределимой системы приводит к по­явлению в них температурных напряжений. Если стержень первоначальной длины l имеет возможность свободно расширяться и его температура изменя­ется от t₁ до t₂, то температурное удли­нение Δl_t может быть подсчитано по формуле - , (2.9)

г де а — коэффициент линейного темпе­ратурного расширения стержня.

Рассмотрим напряжения, возникаю­щие в стержне длиной l, защемленном по концам (рис. 2.3, б) при температуре t₁ в случае последующего повышения температуры до t₂. При повышении тем­пературы возникают реакции R_A и R_B, которые препятствуют удлинению стерж­ня. Уравнение равновесия

, т. е. Ra — Rb = 0; следовательно, Ra = Rb.

Рис. 2.3. Статически неопределимые системы

Уравнение совместности деформации составляем из таких соображений. Если бы опоры А не было, то под влиянием повышения температуры стержень удли­нился бы на величину Δl_t. Но реакция опоры Ra сжимает стержень на вели­чину Δl_А. Очевидно, что Δl_t — Δl_А = 0.

По закону Гука , следова­тельно, с учетом формулы (2.9)-

, откуда температурное напряжение

. (2.10)

2.3. Механические характеристики и испытания материалов

Основные характеристики. При рас­четах на прочность деталей механизмов необходимо знать механические свой­ства (характеристики) материалов: проч­ность, упругость (характеризуемую мо­дулем упругости первого рода Е и коэф­фициентом Пуассона μ); твердость (спо­собность данного тела препятствовать проникновению в него другого тела путем упругого или пластического деформиро­вания либо путем разрушения части поверхности тела); пластичность (ха­рактеризуемую способностью материала давать остаточную деформацию).

Рис. 2. 4. Образец, применяемый при испыта­ниях на растяжение

Механические свойства определяются на специальных машинах и приборах

при испытаниях образцов, изготовлен­ных из данного материала. Различают испытания на растяжение, сжатие, из­гиб, сдвиг, кручение и т. д. Большинст­во механических характеристик прямо или косвенно можно определить при ис­пытании на растяжение, которое для ме­таллов проводится в соответствии с ГОСТ 1497—73.

Испытание на растяжение. На растя­жение испытывают образцы (рис. 2.4), имеющие рабочую часть длиной l, и го­ловки, предназначенные для закрепле­ния в захватах испытательной машины. Удлинение определяется на начальной расчетной длине образца l₀. Чаще всего применяются цилиндрические образцы. Отношение расчетной длины к началь­ному диаметру l_o/d_o у «длинных» образ­цов принято равным 10; у «коротких» — l_o/d_o = 5. Применяются также образцы прямоугольного сечения. Расчетная дли­на их l₀ связана с начальной площадью поперечного сечения F_o такими же за­висимостями, как и у цилиндрических образцов: l₀ = 11,3 — длинные об­разцы и l₀ = 5,65 — короткие об­разцы.

Диаграмма растяжения. При испыта­ниях на растяжение получают зависи­мость удлинения от нагрузки Р в виде диаграммы растяжения. На рис. 2.5, а приведена диаграмма для малоуглеро­дистой стали. Диаграмма имеет ряд ха­рактерных точек. На участке ОА диа­грамма прямолинейна — растяжение происходит с соблюдением закона Гука. При дальнейшем увеличении нагрузки прямая пропорциональность между Р и нарушается, но образец сохраняет упругие свойства вплоть до точки К. За этой точкой возникают уже заметные остаточные деформации. Начиная сточки С до точки D удлинение образца проис­ходит без заметного увеличения внешней нагрузки. Материал, как говорят, «течет».

Во время течения происходит пере­стройка кристаллических решеток мате­риала образца и материал становится бо­лее прочным. Участок CD называется площадкой текучести.

В дальнейшем для увеличения удли­нения необходимо увеличить внешнюю силу Р. Однако при этом соотношение между Р и закону Гука не подчиняет­ся. При достижении на диаграмме точ­ки В на образце образуется так называ­емая «шейка» — местное уменьшение се­чения. Шейка быстро развивается. При этом значение внешней нагрузки умень­шается, хотя напряжение растет, и в точке Е наступает разрыв образца.

Д иаграмму растяжения обычно пере­страивают в более удобной системе коор­динат σ_х и ε_х (рис. 2.5, б). Форма диа­граммы при этом не изменяется.

Рис. 2.5. Диаграммы растяжения образца из малоуглеродистой стали

Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, назы­вается пределом пропорциональности . Пределом упругости σ_у называ­ется наибольшее напряжение, до кото­рого материал не получает заметных ос­таточных деформаций. Предел текучести — напряжение, при котором проис­ходит рост деформаций без заметного увеличения нагрузки Р_В. Предел проч­ности — отношение максимальной си­лы Р_В, которую способен выдержать образец, к его начальной площади по­перечного сечения.

Для характеристики пластичности ис­пытуемого материала используются две величины: относительное удлинение при разрушении и относи-

тельное сужение образца . %.

Длина образца 1_К и минимальная площадь поперечного сечения шей­ки F_min после разрушения фиксируются при испытании.

Кроме указанных выше механических характеристик, диаграмма растяжения дает возможность определить энерге­тическую характеристику материала. Величина площади диаграммы растяже­ния в координатах Р — (рис. 2.5, а) характеризует работу, израсходован­ную на разрыв образца. Элементарная работа, произведенная действующей на образец силой Р на приращении удлине­ния d , равна

dA = Pd , а вся ра­бота, затраченная на разрыв образца , может быть подсчитана как площадь диаграммы, ограниченная кри­вой OACDBE, отрезком EG и осью абс­цисс (рис. 2.5, а).

В пределах упругости полная работа, произведенная внешними силами при статическом нагружении, превращается в потенциальную энергию деформирован­ного тела и выражается площадью тре­угольника OAF: при удлинении образ­ца и соответствующей ему силе Р потенциальная энергия U = Р /2. По­тенциальная энергия, отнесенная к еди­нице объема образца, называется удель­ной:

. (2.11)

Выбор допускаемого напряжения. Оп­ределение величины допускаемого напря­жения является одной из важных задач расчетов на прочность. Как следует из выражения (2.7), допускаемое напря­жение получают как часть величины на­пряжения ( , соответствующего опасно­му состоянию и определяемому при ме­ханических испытаниях материала. Для того чтобы избежать остаточных дефор­маций, за величину для пластичных материалов принимают предел текучести . В этом случае коэффициент запаса обозначают через п_Т — его называют коэффициентом запаса по пределу теку­чести. Тогда [σ] = . Для хрупких материалов (чугун, высокоуглеродистые закаленные стали и др.) за прини­мают предел прочности , а под п_в понимают коэффициент запаса по пре­делу прочности,

поэтому .

Выбор значения коэффициента запа­са зависит от методов расчета, степени точности этих методов, свойств материа­лов, назначения конструкции и многих других факторов. Указания о конкрет­ных значениях этих коэффициентов при­водятся далее для различных случаев конструкций определенного назначения.

Твердость. Для определения твердос­ти материала используют методы Бри-нелля (ГОСТ 9012—89), Роквелла (ГОСТ 9013—89) и Виккерса (ГОСТ 2999—85).

Числом твердости НВ по Бринеллю называется отношение нагрузки Р, с ко­торой вдавливается закаленный шарик в шлифованную поверхность образца, к площади F получаемого при этом отпе­чатка : .

В соответствии со стандартом приме­няются шарики диаметром 2,5; 5 и 10 мм. Минимальная толщина испытуемого об­разца должна быть не менее десятикрат­ной глубины отпечатка.

По методу Роквелла о твердости су­дят по разности глубин, на которые про­никает алмазный конус или стальной ша­рик диаметром 1,5875 мм при действии двух последовательно приложенных на­грузок (предварительной и общей). Для определения числа твердости применя­ют две шкалы. По шкале В (при вдавли­вании стального шарика) число твердос­ти обозначается HRB. Для более твер­дых материалов по шкале С число твер­дости обозначается HRC (при вдав­ливании алмазного конуса).

Число твердости по Виккерсу HV = P/F является отношением нагрузки Р,

вдавливающей алмазную пирамиду в поверхность образца, к площади F боко­вой поверхности полученного пирами­дального отпечатка.

11.4. Элементы общей теории напряженно-деформированного

состояния

Л инейное напряженное состояние. Рассмотрим брус, испытывающий центральное растяжение под действием сил Р (рис. 2.6, а). -

Рис. 2.6. Напряжение при линейном напряжен­ном состоянии

По сечению т — k пло­щадью F действует нормальное напря­жение . В этом случае N = Р. Возьмем площадку, наклоненную под углом а к сечению т — k. Площадь наклонного сечения т—т равна F₁ = . Угол а будем считать положительным, если для совмещения силы с нормалью п силу нужно повернуть против часовой стрелки. Полное напря­жение по наклонной площадке

Р.

Напряжение р_п разложим на нормаль­ную и касательную составляющие (рис. 2.6,б): ; (2.12)

. (2.13)

Нормальное напряжение будем счи­тать положительным, если оно направ­лено в сторону внешней нормали к пло­щадке. Нормальное и касательное напря­жения соответственно равны: при а = 0: , ;

при a = 45°: ; ;

при а = 90°: , .

Таким образом, при центральном рас­тяжении бруса нормальные напряжения в поперечных сечениях являются наи­большими, а в продольных они отсут­ствуют. Такое напряженное состояние называется линейным.

Закон парности касательных напря­жений. Рассмотрим напряжения по пло­щадке, перпендикулярной к т — т (рис. 2.6, б). Нормаль к этой площадке п' составляет с направлением силы угол 270° + а. Из формул (2.12) и (2.13) получим

( ) (2.14)

Сравнивая формулы (2.13) и (2.14), получаем , т. е. касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам перпендику­лярны к ребру пересечения этих пло­щадок, равны по величине и направлены к ребру или от ребра пересечения этих площадок. Это свойство называется за­коном парности касательных напряже­ний (справедлив для любого вида напря­женного состояния).

Плоское напряженное состояние. На­пряженное состояние, при котором век­торы всех полных напряжений лежат в одной плоскости, называется плоским. Выделим из тела, находящегося в плос­ком напряженном состоянии, треуголь­ную призму толщиной, равной единице (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Плоское напряженное состояние с компонентами напряжений

Пусть по двум взаимно перпен­дикулярным площадкам Оа и Ob в плос­кости чертежа действуют как нормаль­ные, так и касательные напряжения. Нормальные напряжения по площадкам с нормалями х, у, п обозначим соответ­ственно σ_х, σ_у и σ_n. Касательные напряжения обозначаются двумя индек­сами: первый указывает нормаль к пло­щадке, по которой действует касатель­ное напряжение, а второй — ось, кото­рой оно параллельно. Закон парности касательных напряжений и здесь имеет место: τ_ху = τ_ух.

Рассмотрим равновесие призмы. Учиты­вая, что площадь Fo_а = F_ab sin а и

Fo_b = F_аь cos а, и проецируя напряжения на нормаль п и сечение аb, получаем (2.15)

или (2.16)

Формулы (2.15) дают связь между нормальными и касательными напряже­ниями по площадкам с нормалями х и у и напряжениями по любым площадкам, нормали к которым составляют с осью у угол а. Для определения положения площадок, по которым действуют экст­ремальные нормальные напряжения, про­дифференцируем первое из выражений (2.15) по а и приравняем производную нулю:

,

откуда .

Последнее выражение определяет по­ложение площадок, свободных от каса­тельных напряжений — главных площа­док, по которым действуют экстремаль­ные нормальные напряжения, называе­мые главными и обозначаемые и .

Имея в виду, что sin 2а =

и cos 2a = , и подставляя эти значения в выражение для , по­лучаем формулу главных напряжений

. (2.17)

Из выражения (2.15) для следует, что максимальные касательные напря­жения действуют по площадкам, накло­ненным под углом 45° к главным, и равны полуразности главных: . (2.18)

В частном случае, когда , глав­ные напряжения

. (2.19)

Объемное напряженное состояние.

Рассмотрим деформацию параллелепи­педа размерами а *b * с (рис. 2.8), по граням которого действуют главные напряжения , , . Вследствие дефор­мации элемента размеры становятся рав­ными а + ; b + ; с+ , a относи­т ельные удлинения в главных направ­лениях ; ; . Применяя принцип суперпозиции, можно написать

,

где — относительное удлинение в на­правлении вызванное действием на­пряжения ; — удлинение в том же направлении, вызванное действием на­пряжения ; — удлинение, вызван­ное действием напряжения .

Рис. 2.8. Всестороннее растяжение элементар­ного параллелепипеда

Обобщенный закон Гука. На основа­нии формул (2.3) и (2.4) находим

= ; = ; = .

Сложив эти величины, получим . Аналогичные

выражения получим и для главных удли­нений в других направлениях. В ре­зультате обобщенный закон Гука выра­зится следующими соотношениями: ; ; (2.20)

Для плоского напряженного состоя­ния, например для случая, когда :

; ; (2.21)

Установим связь между относитель­ным изменением объема ε_v и главными напряжениями. Объем элемента до де­формации V_o = abc. После деформации объем

.

Пренебрегая последними четырьмя членами, получим относительное изме­нение объема .

Выразив главные удлинения через главные напряжения при помощи фор­мул (2.20), получим

. (2.22)

В частном случае при равномерном всестороннем растяжении

; , (2.23)

где К= модуль объемной деформации.