5. Устойчивость сжатых стержней

5.1. Задача Эйлера

Критическая сила. Рассмотрим стер­жень с площадью поперечного сечения F (рис. 5.1, а), сжимаемый продольной силой Р, линия действия которой совпа­дает с геометрической осью стержня. Если сила Р невелика, то стержень будет испытывать равномерное сжатие с на­пряжением . Прикладывая, кро­ме того, небольшую поперечную силу, можно вызвать изгиб стержня, и он бу­дет находиться в равновесии, оставаясь изогнутым. После снятия поперечной силы стержень станет снова прямоли­нейным. Состояние, в котором находится стержень под действием небольшой силы Р, является устойчивым равновесием.

Если увеличивать силу Р, то после достижения ею некоторого значения рав­новесие стержня становится безразлич­ным. Наименьшее значение осевой сжи­мающей силы, при котором становятся равновозможными две формы равновесия стержня (прямолинейная и криволиней­ная, бесконечно близкие друг другу), называется критической силой.

Рис. 5.1

В том случае, когда величина силы Р достигла значения критической, стержень нахо­дится в состоянии неустойчивого равно­весия. При этом действие малой поперечной силы выводит стержень из равно­весия, происходит внезапное поперечное выпучивание его и разрушение.

Шарнирно закрепленный стержень. Пусть стержень находится в равнове­сии, сохраняя изогнутую форму при действии на него критической силы Р_кр (рис. 5.1, б). В сечении, отстоящем на расстоянии х от начала координат, дей­ствует изгибающий момент

. (5.1)

Дифференциальное уравнение упру­гой линии на основании выражения (4.3)

(5.2)

обозначим и тогда выражение (5.2) примет вид

. (5.3)

Мы получили дифференциальное уравнение, которое является линейным однородным второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения (5.3) имеет вид

у = C₁ cos kx + С₂ sin kx. (5.4)

Произвольные постоянные С₁ и С₂ находим из условий закрепления концов стержня: при х = 0, у = 0 и, следова­тельно, С₁ = 0;

при х = l , у = 0 и тогда : .

Если С₂ = 0, то для уравнения (5.4) получаем тривиальное решение: у = 0.

Это решение соответствует равновесию неискривленного стержня.

Если С₂ 0, то должно быть sin kl = 0. Но это условие возможно тогда, когда kl = 0; π; 2π; 3π; ....

Таким образом, равновесие имеет место, если .

Первое условие даёт тривиальное решение .

Второе условие приводит к формуле Эйлера для определения критической силы

. (5.5)

5.2. Расчет на устойчивость

Влияние условий закрепления. При изменении условий закрепления вели­чина критической силы изменяется. Из схемы (рис. 5.1, в), на которой изобра­жены стержень длиной l, защемленный одним концом, и его зеркальное отобра­жение, видно, что критическую силу для рассматриваемого случая можно опре­делить по формуле (5.5), если вместо l в нее подставить l ₁ = 2 l :

. (5.6)

Как видим, при изменении условий за­крепления меняется числовой множи­тель при l² в знаменателе правой части выражения (5.5).

Поскольку при потере устойчивости прямолинейной формы равновесия из­гиб всегда происходит в плоскости наи­меньшей жесткости EJ_min, то нейтраль­ной линией служит та из главных цент­ральных осей инерции, для которой момент инерции поперечного сечения минимальный (J_mim). Тогда формула Эй­лера в общем виде

, (5.7)

где μ характеризует условия закрепле­ния концов стержня; для шарнирного закрепления μ= 1; один конец защем­лен, другой свободен — μ = 2;

оба конца защемлены — μ = 0,5; один конец защемлен, другой закреплен шарнирно — μ= 0,7 (см. рис. 5.2).

Произведение μl называется приведен­ной длиной стержня.

Критическое напряжение найдем, раз­делив критическую силу на площадь поперечного сечения F:

,

(5.8)

где - минимальный радиус инерции.

Рис. 5.2

Пределы применимости формулы Эйлера. При выводе формулы Эйлера бы­ло использовано дифференциальное урав­нение изогнутой оси стержня, справед­ливое только в пределах действия зако­на Гука. Отсюда следует, что формула Эйлера также справедлива только в том случае, если потеря устойчивости про­исходит при напряжении σ_кр, меньшем предела пропорциональности σ_пц. Ус­ловие справедливости формулы Эйлера можно представить в виде . Подставляя в это неравенство значение σ_кр из выражения (5.8), получаем

.

Отношение , называется гиб­костью стержня Таким образом, предель­ное значение гибкости . (5.9)

Условие (5.9) определяет пределы применимости формулы Эйлера. При гибкости стержня, меньшей предельного значения _пред, формулой Эйлера поль­зоваться нельзя.

Определение устойчивости стержней с гибкостью, меньшей предельной, производится по эмпирическим формулам. Так критическое напряжение по формуле Ясинского представля­ется в следующем виде:

, (5.10)

где а и λ — определяемые экспериментально коэффициенты, за­висящие от свойств материала стержня. Формула (5.10) приме­нима для стержней из малоуглеродистой стали при гибкости λ = 40... 100. При гибкости λ = 0...40 напряжение критическое σ_кр считается постоянным и равным пределу текучести (σ_кр =σ_T).

На рис. 5.3 приведен график, характеризующий зависи­мость σ_кр от гибкости стержня для материала СтЗ. На участке с гибкостью λ= 0...40 напряжение σ_кр имеет постоянное значе­ние, равное σ_Т (т. е. стержень работает только на сжатие ), на участке с λ = 40... 100 напряжение есть линейная функция от λ (формула Ясинского), а при λ>100 критическое напряже­ние определяется по формуле Эйлера.

Отметим, что значение λ_пр = 100 для СтЗ легко определяет­ся (Е= 2 • 10⁵ МПа, σ_пц = 200 МПа):

.

Д ля некоторых марок легированных сталей -100,

для чугуна , для дерева — .

Рис. 5.3. Зависимость σ _кр от гибкости стержня для материала Ст 3

В уравнении Ясинского (5.10) для материала СтЗ : а = 310 МПа, b = 1,14 МПа

(рис. 5.3)

Для чугунов при λ < λ_пр = 80 принимают параболическую за­висимость

σ_кр=776-12λ + 0,053λ ² (5.11)

Так же, как при расчетах стержневых конструкций на проч­ность при расчете на устойчивость различают три вида расчетов:

— проверочный, при котором определяется фактический коэффициент запаса устойчивости (п_у) и сравнивается с требуемым или нормативным ([п]_у):

. (5.12)

где F — сила, сжимающая стержень;

— определение допускаемой нагрузки

. (5.13)

— проектный (определение требуемых размеров поперечно­го сечения):

(5.14)

В последнем случае после определения J_min следует вычис­лить радиус инерции i_min и гибкость λ. Затем проверить воз­можность использования формулы Эйлера. В случае ее непри­менимости необходимо сделать пересчет, используя при этом эмпирические зависимости (формулу Ясинского).

Значения a, b, λ_o и λ_пред могут быть приняты также по табл. 5.1.

Таблица 5.1

Значения a, b, λ_o и λ_пред

Материал	а МПа*	b МПа	λo	λпред
Стали 10, 15, Ст. 2 Стали 20, Ст. 3 .	310 310	1,14 1,14	75 60	105 100
Стали 30, 35, Ст. 5	464 589	3,62 3,82	50	90 85 70
Стали 15ГС, 18Г2С, 25Г2С	589	3,82	45	85

Наряду с расчетами по формуле Эйлера и эмпирическим зависи­мостям широкое распространение (особенно при проектировании строительных конструкций) имеет расчет на устойчивость, по форме аналогичный расчету на простое сжатие.

Допускаемая нагрузка определяется по формуле

, (5.15)

где [σ_с] — допускаемое напряжение (основное) на сжатие для мате­риала стержня;

φ— коэффициент снижения основного допускаемого напряжения или коэффициент продольного изгиба, зависящий от материала стержня и его гибкости. Значения коэффициента φ указаны в табл. 5.2.

Произведение называют допускаемым напряжением при рас­чете сжатых стержней на устойчивость и обозначают .

Расчет по коэффициенту φ (иногда называемый также расчетом по нормам строительного проектирования) лишь по форме аналогичен расчету на простое сжатие, по существу это расчет на устойчивость, обеспечивающий работу стержня с тем коэффициентом запаса устой­чивости, который предусмотрен при составлении таблиц коэффициен­та φ. Этот коэффициент запаса устойчивости будем называть нор­мативным.

Следует заметить, что нормативные коэффициенты запаса устой­чивости для стальных стержней значительно ниже, чем принятые в машиностроении, поэтому применение этого метода расчета к элемен­там машиностроительных конструкций может иметь место лишь при условии либо составления специальных таблиц коэффициентов сни­жения допускаемых напряжений, либо (в случае использования таб­лиц, составленных для строительных конструкций) расчета по пони­женным основным допускаемым напряжениям. Во всяком случае, расчетные данные должны быть выбраны таким образом, чтобы ко­эффициенты запаса устойчивости получались соответствующими при­нятым в данной отрасли машиностроения.

Достоинством рассматриваемого метода расчета является его универсальность в том смысле, что он применим для всех значений гибкости, указанных в таблице коэффициентов φт. е. независимо от области применимости формулы Эйлера.

Таблица 5.2

Значения коэффициента снижения основного допускаемого напряжения φ

	Сталь Ст. 2, Ст. 3, Ст. 4	Сталь Ст. 5	Чугун	Дерево
0	1,00	1,00	1,00	1,00
10	0,99	0,98	0,97	0,99
20	0,96	0,95	0,91	0,97
30	0,94	0,92	0,81	0,93
40	0,92	0,89	0,69	0,87
50	0,89	0,86	0,57	0,80
60	0,86	0,82	0,44	0,71
70	0,81	0,76	0,34	0,60
80	0,75	0,70	0,26	0,48
90	0,69	0,62	0,20	0,38
100	0,60	0,51	0,16	0,31
ПО	0,52	0,43	—	0,25
120	0,45	0,36	—	0,22
130	0,40	0,33	—	0,18
140	0,36	0,29	—	0,16
150	0,32	0,26	—	0,14
160	0,29	0,24	—	0,12
170	0,26	0,21	—	0,11
180	0,23	0,19	—	0,10
190	0,21	0,17	—	0,09
200	0,19	0,16		0,08

Так же, как и в предыдущем случае (при использовании формулы Эйлера или эмпирических зависимостей), расчет по нормам строитель­ного проектирования может быть проверочным, проектным или слу­жащим для определения допускаемой нагрузки.

а) Проверочный расчет (5.16)

б) Определение допускаемой нагрузки . (5.17)

в) Проектный расчет . (5.18)

При проектном расчете приходится пользоваться методом последо­вательных приближений, так как в начале расчета значение коэффи­циента φ, зависящего от гибкости, а следовательно, и от размеров поперечного сечения стержня, неизвестно.

Необходимо иметь в виду, что местные ослабления стержня (на­пример, отверстиями для заклепок) практически не влияют на его об­щую устойчивость, поэтому в формулы (5.16)—(5.18) следует подставлять полную площадь сечения (брутто) без учета ослаблений.