4.3. Главные оси инерции и главные моменты инерции

Р ассмотрим, как меняются моменты инерции произвольного сечения при повороте системы координат. Пусть известны мо­менты инерции J_u, J_v, J_uv относительно исходной системы осей координат uOv. Определим эти же геометрические характерис­тики относительно осей u₁Ov₁, повернутых на угол а (принятое положительное направление вращения показано на рис. 3.7). Пе­реход к новой системе осей координат задается соотношениями:

u₁ = v * sina + и * cos a; v₁ = v*cosa – u*sina.

Рис. 3.7. Расчетная схема к определению моментов инерции при повороте координатных осей

Пересчитаем моменты инерции для новых осей координат u₁0v₁

(3.26)

(3.27)

(3.28)

В случае, когда одна из исходных координатных осей является осью симметрии (J_uv = 0), то выше приведенные формулы приобретают более простой вид:

(3.29)

Замечания.

1. Легко видеть, что при повороте координатных осей на угол a = 90° моменты инерции се­чения меняются местами, т. е

(3.30)

2. Сумма осевых моментов инерции остается величиной инвариантной (постоянной) при повороте осей и равняется полярному моменту инерции:

. (3.31)

Следовательно, существует такое значение угла а, при ко­тором осевые моменты инерции приобретают экстремальные значения, когда один из них достигает максимальной величи­ны, а другой — минимальной.

Введем определения.

1. Оси координат, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции, а соответствующие значения осевых моментов — главными моментами инерции сечений.

2. Главные оси инерции, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями сечения, а соответствующие моменты — главными центральны­ми моментами инерции сечения.

Положение главных центральных осей можно определить, приравняв к нулю первую производную осевого момента инер­ции (условие экстремума):

(3.32)

Продифференцируем первое выражение формулы (3.26) по а и с учетом (3.28) имеем

(3.33)

Вывод. Положение главных осей определяется равенством нулю центробежного момента инерции . Приравняем выражение (3.28) к нулю и получим расчетную формулу для определения требуемого угла поворота осей (положитель­ное направление согласно рис. 3.7)

. (3.34)

Процедура применения формул (3.19) - (3.23), а также (3.26) — (3.28), либо (3.29) и (3.34) следующая:

1. Для сложного составного сечения определяется его площадь и центр тяжести по формуле (3.18).

2. Рассчитываются моменты инерции составного сечения для центральных осей по формулам (3.21) - (3.23).

3. Определяются главные центральные оси и главные цент­ральные моменты инерции по формулам (3.34) и (3.26) - (3.28).

Эта последовательность определения основных геометричес­ких характеристик объясняется тем, что характер изгиба бал­ки при нагружении зависит как от положения главных цент­ральных осей, так и от значения главных моментов инерции поперечного сечения.

Формулы (3.26) и (3.27) для главных моментов инерции можно преобразовать с учетом формулы (4.34) для определе­ния угла поворота от исходных осей uOv к главным u₁0v₁. Для этого и представляются через cos2a₀, а центробежный момент инерции J_uv представляется по (3.34) через tg2а₀. Так выражение (3.26) принимает вид:

(3.26^/) Величину, обратную косинусу двойного угла, представляем:

тогда для значений экстремальных (главных моментов инер­ции сечения) имеем: (3.35)