4.4. Метод конечных разностей

Метод конечных разностей построен на замене производных, входящих в дифференциальные операторы уравнений и краевых условий, описывающих ту или иную физическую задачу, их приближенными выражениями, в которых дифференциалы аргументов и функций заменены конечными приращениями.

Если двухмерную область разбить прямоугольной сеткой с равными шагами и в каждом из двух взаимно перпендикулярных направлений, то в точке с координатами и соотношения для первых производных могут быть записаны в виде –

Здесь символом обозначено значение функции в точке с координатами .

Для оценки погрешности разностной аппроксимации разложим функцию в окрестности точки в ряд Тейлора

(4.27)

В выражении (4.27) остаточный член разложения, имеющий значение порядка . Подставим это разложение в правую часть первого из соотношений –

. (4.28)

Величина в выражении (4.28) показывает порядок погрешности разностной аппроксимации. Для аппроксимации производных второго и более высоких порядков, а также для смешанных производных применяются формулы –

. (4.29)

Погрешность аппроксимации производных в этих соотношениях имеет порядок .

При аппроксимации граничных условий бывает полезно применять смещенные разности. Например, для аппроксимации граничных условий на контуре области могут быть использованы правые разности –

(4.30)

На контуре –

(4.31)

Замена производных в граничных условиях на контуре области x = b, y производится левыми разностями по формулам –

(4.32)

На контуре справедливо

(4.33)

Погрешность аппроксимации в формулах (4.30)-(4.33) равна .

Поясним сущность применения метода конечных разностей на примере приближенного решения уравнения, описывающего продоль­ные колебания стержня переменного сечения –

(4.34)

с граничными

(4.35)

и начальными условиями при

(4.36)

Здесь использованы следующие обозначения: модуль упругости материала стержня; площадь поперечного сечения стержня; – погонная нагрузка; скорость распространения продольной волны в стержне постоянного сечения; плотность материала стержня.

Разделим интервалы [0; L] и [0; t] точками на и N равных частей .

Используя формулы (4.27), (4.29), получим уравнение в конечных разностях, приближенно заменяющее заданное

(4.37)

В формуле (4.37) вторыми индексами, как обычно принято, обозначены номера точек по временной координате, первым индексом – пространственной. Уравнение (4.35) должно выполняться во всех точках области [0; L], [0; t]. Приближенная замена граничных условий (4.35) может быть осуществлена с использованием смещенных разностей (4.32) –

(4.38)

В ряде случаев предпочтительным является метод введения точек, расположенных за контуром рассматриваемой области. Граничные условия (4.38) в этом случае могут быть представлены в виде –

(4.39)

Заметим, что величины перемещений во внутренних точках области на временном слое вычисляются по известным значениям перемещений, полученным на слоях и .

Аппроксимация начальных условий (4.38) с использованием законтурных точек дает необходимые для начала счета данные –

. (4.40)

Условия (4.40) равносильны предположению о том, что до момента начала действия силы (при < 0) все точки стержня находились в состоянии покоя, тело было недеформировано.

Таким образом, алгоритм решения задачи о продольных колебаниях стержня переменного сечения методом конечных разностей сводится к следующему:

1) считая начальное состояние невозмущенным, полагается (для случая введения законтурной точки );

2) по формуле (4.37) находятся во внутренних точках области (при введении законтурной точки );

3) значения перемещений на контуре вычисляются по формуле (4.38), а для случая введения законтурной точки по формуле (4.39);

4) осуществляется переход к пункту 2, определяется и т.д.

Аппроксимация исходных дифференциальных уравнений и соответствующих начальных и граничных условий является необходимым, но недостаточным условием сходимости приближенного вычислительного процесса к точному решению. Для некоторых разностных схем малые ошибки, допущенные при аппроксимации начальных данных и дифференциальных уравнений, а также наличие неизбежной погрешности, связанной с конечным числом разрядов счета ЭВМ, сильно возрастают при проведении вычислений и делают невозможным получение сколько-нибудь пригодного результата. Это приводит к необходимости исследования устойчивости разностных схем, применяемых для решения задач динамики упругих систем.

Одним из наиболее распространенных методов исследования устойчивости разностных схем является гармонический анализ [40], рассматривающий распространение начального возмущения типа гармоники

, (4.41)

где амплитуда гармоники; возмущения в начальных данных или в процессе счета (ошибки округления) по х и у соответственно; круговая частота возмущения; k₁, k₂ волновые числа.

Для того, чтобы гармоника (4.41) была решением уравнения (4.37), необходимо, чтобы были связаны дисперсионными (или характеристическими) уравнениями. Условие устойчивости разностной схемы формулируется в виде –

Max (4.42)

где корень характеристического уравнения.

Неравенство (4.42) означает: если амплитуда каждого гармонического возмущения возрастает не сильнее, чем , то разностная схема устойчива.

Условие устойчивости разностной схемы налагает ограничение на соотношение шагов по временной и пространственным координатам. Например, в задаче (4.34) при условие устойчивости имеет вид: , что физически означает: расстояние, на которое распространяется волна за промежуток времени, равный шагу по времени, не должно превышать шага сетки. Аналогичные условия устойчивости могут быть получены для решения задачи об изгибных колебаниях балки.

Для сложных систем получение априорных оценок устойчивости разностных схем затруднительно. Следует отметить, что распространенное в инженерной практике суждение об устойчивости применяемых разностных схем, базирующееся на сопоставлении результатов расчета, полученных при кратном изменении шага по времени, не всегда обосновано. Так, показано, что при кратном изменении шага по времени может иметь место сходимость разностных решений к результату, не имеющему ничего общего с решением рассматриваемой задачи. Поэтому, в тех случаях, когда априорные оценки устойчивости разностных схем не могут быть получены, целесообразно исследовать устойчивость путем сопоставления приближенного решения с имеющимся точным для модельных задач.