5.4. Вариационный метод ритца
В прикладных задачах теории упругости широко используется вариационный метод Ритца, суть которого такова.
Пусть необходимо
найти функцию
,
которая дает
минимум интегралу
(5.6)
при условии
на границе Г
области
Ритц предложил
приближенное значение
искомой
функции
находить в виде суммы некоторых
координатных функций
с
неизвестными коэффициентами
,
т.е.
(5.7)
Функции
должны
удовлетворять граничным условиям
задачи, как и
,
при любых значениях
.
Кроме того, система функций
должна быть по возможности полной.
Подставив выражение
(5.7) в интеграл (5.6), подучим
.
Найдем значения коэффициентов
,
при которых
интеграл
будет минимален. Для этого необходимо
решить конечную систему алгебраических
уравнений –
.
(5.8)
Составляя выражение
(5.7) с найденными коэффициентами
,
получим функцию
,
которую Ритц
рекомендует рассматривать как приближенное
решение вариационной задачи.
Если зависит не от одной, а от нескольких независимых переменных, интеграл (5.6) будет кратным, а вычислительный процесс развивается аналогично.
В том случае, когда
интеграл
является энергетическим для линейных
краевых задач, система уравнений (5.8)
является тоже линейной, а построенная
минимизирующая последовательность
функций
действительно сходится к точному
решению
.
Применим вариационный метод Ритца к решению краевых задач теории упругости, основанных на вариационном уравнении Лагранжа, т.е. будем искать решение задач статики в перемещениях.
Наиболее удобной формой представления приближенных решений являются частные суммы рядов с неопределенными постоянными коэффициентами. Примем для искомых перемещений следующие выражения –
.
(5.9)
Функции
выбираются
в соответствии с рекомендациями Ритца,
т.е. так, чтобы удовлетворялись граничные
условия. В частности, если на границе
тела заданы только перемещения
,
то функции
должны быть
обращающимися в нуль на этой границе.
Вариации перемещений равны –
),
),
где
вариации
произвольных, ничем не связанных друг
с другом постоянных.
Получим систему
алгебраических уравнений для нахождения
коэффициентов
.
С этой целью обратимся к вариационному
уравнению Лагранжа (5.2).
Входящее в это
уравнение вариация
работы внутренних напряжений может
быть записана следующим образом –
Подставим теперь это выражение вместе с суммами (5.9) в вариационное уравнение (5.2) –
Поскольку вариации коэффициентов независимы, можно записать –
(5.10)
Легко заметить, что число этих уравнений равно числу неизвестных постоянных . Работа внутренних напряжений представляет собой квадратичную форму относительно последних коэффициентов. В самом деле, вариация работы внутренних напряжений в выражении (5.2) на вариациях перемещений равна
и, если подставить сюда выражения напряжений через деформации (соотношения закона Гука), то окажется квадратичной формой относительно деформаций. Деформации же линейно выражаются через перемещения (геометрические соотношения), а, значит, и линейно зависят от коэффициентов , т.е. действительно представляют собой квадратичную форму относительно этих коэффициентов. В таком случае их первые производные, стоящие в левых частях уравнений (5.10), являются линейными выражениями относительно неизвестных коэффициентов .
Отметим, что поскольку объемные и поверхностные силы заданы, а функции уже выбраны, то правые части уравнений (5.10) являются известными величинами. Таким образом, соотношения (5.10) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений для определения произвольных параметров разложения (5.9). Обратим внимание, что статические граничные условия в рассматриваемом случае будут удовлетворены автоматически либо точно, либо приближенно, причем тем точнее, чем больше членов ряда взято в разложении (5.9). Так как выбор функций , заранее удовлетворяющих граничным условиям в напряжениях, часто является трудным, это обстоятельство дает преимущества методу Ритца перед другими вариационными.