4.2. Метод коэффициентов динамической жесткости

Применение этого метода также сопряжено с рассмотрением составной системы из конечного числа упругих балок. К некоторым точкам системы могут быть присоединены жестко или упруго отдельные грузы.

Применяя принцип д’Аламбера, приложим к каждой массе силы инерции –

Для задачи о собственных колебаниях системы можно записать зависимости между перемещениями и силами в виде –

(4.6)

где коэффициент податливости, численно равный перемещению точки с номером под действием единичной силы в точке .

Формально система уравнений (4.6) может быть преобразована к виду –

(4.7)

где коэффициент жесткости, численно равный реакции в точке , вызванный единичным перемещением точки i.

Системы уравнений (4.6) и (4.7) удобно записать в матричной форме –

где матрица-столбец обобщенных перемещений; матрица-столбец внешних наг­рузок; матрица коэффициентов податливости; матрица коэффициентов жесткости.

Матрица жесткостей является обратной по отношению к матрице , т.е.

и .

Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы в матричной форме имеет вид –

где матрица коэффициентов инерции, матрица-столбец ускорений.

Вместо указанного уравнения можно записать эквивалентное ему уравнение –

где

Исключив время представлением в виде гармонической функции и обозначив , получим –

или ,

где единичная матрица.

Следует заметить, что при большом порядке матрицы ее обращение может быть связано с потерей точности, поэтому более удобным оказывается уравнение вида

4.3. Метод прогонки

Численными методами легко решаются задачи с начальными условиями (Коши). Однако большая часть задач теории упругости относится к другому классу. Это так называемые краевые задачи, решение которых должно быть подчинено граничным условиям, сформулированным в различных точках интервала изменения независимой переменной. Краевые задачи можно решать сведением их к задаче Коши. Одним из способов такого решения является метод прогонки.

Суть и сходимость метода прогонки.

Он разработан в Математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР. Проиллюстрируем его на примере линейного дифференциального уравнения второго порядка –

, (4.8)

где р(х) и — непрерывные функции, р(х) > 0. Пусть граничные условия имеют вид

, (4.9)

. (4.10)

Для решения задачи можно применить следующий прием. Задаемся произвольными начальными условиями –

, (4.11)

лишь бы было выполнено граничное условие (4.9). Находим решение задачи любым из приведенных выше методов, приспособленных для решения задачи Коши.

Обозначим полученное решение через . Тогда общее решение уравнения (4.8) можно записать в виде –

(4.12)

где и линейно независимые решения уравнения

(4.13)

Так как для искомого решения у(x) должно быть выполнено граничное условие (4.9), то должно выполняться равенство

или

.

Таким образом, надо разыскивать все решения (4.13), удовлетворяющее условию –

.

Совокупность таких решений образует однопараметрическое семейство. Чтобы получить его, достаточно задать каким-либо образом и найти решение уравнения (4.13), удовлетворяющее условиям –

причем –

(4.14)

где С подбирается так, что для у(х) выполнено условие (4.10). Это дает –

.

Если, задача (4.8), (4.9), (4.10) имеет единственное решение, то С должно определиться однозначно.

Теоретически изложенный метод идеален по своей простоте. Однако он может привести к большим вычислительным погрешностям. Для того чтобы показать это, исследуем поведение решения уравнения (4.13). Дифференцируя получим –

>0.

Отсюда –

(4.15)

В рассматриваемом случае . Как и ранее, предполагаем, что >0. При этом формула (4.15) показывает, что будет расти по абсолютной величине вместе с возрастанием х. Следовательно, может быть очень велика при , особенно если нижняя граница большая. Вследствие этого для получения у(х) по формуле (4.14) с достаточной точностью нужно будет сохранять в и большое количество разрядов.

Метод прогонки и придуман для того, чтобы избежать этих трудностей. Суть метода состоит в следующем. Формула (4.14) показывает, что совокупность решений дифференциального уравнения (4.8), удовлетворяющих граничному условию (4.9), есть семейство, зависящее от одного параметра. Будем искать линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида –

такое, что каждое решение (4.14) принадлежит к числу решений (4.15). Естественно, при мы должны получить условие (4.9), поэтому

(4.16)

Так как (4.14) должна удовлетворять (4.15), то

(4.17)

Это тождество, выполняющееся при любом значении С. Поэтому

; (4.18)

Дифференцируя первое из этих равенств и используя (4.13), получим

или

(4.19)

Точно так же, дифференцируя второе из равенств (4.18) и используя (4.8), получим

или

(4.20)

Таким образом, задача свелась к отысканию функций и , удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений первого порядка

(4.21)

и начальным данным (4.16). Сначала проинтегрируем первое из уравнений (4.21), а затем второе. Найдя и , можно получить

(4.22)

Этим самым совершена прямая прогонка, с перегонкой граничного условия (4.9) с левого конца на правый. Равенства (4.22) и (4.10) рассматриваются как система уравнений для определения и . Уравнения (4.22) и (4.10) могут совпадать, и тогда краевая задача имеет бесчисленное множество решений, представляемых формулой (4.14). Они могут быть несовместны, и тогда краевая задача не имеет решения. Если же система (4.22), (4.10) имеет единственное решение, то на правом конце можно получить данные Коши для уравнения (4.8). Но лучше использовать не уравнение (4.8), а уравнение (4.22), находя его решение на отрезке [a; b], принимающее при полученное значение . Этот процесс называют обратной прогонкой.

Исследуем теперь поведение решений уравнений (4.19) и (4.20) при прямой прогонке и уравнения (4.22) при обратной прогонке. Заметим, что уравнение (4.22) получается из уравнения (4.13), если произвести замену переменных –

Действительно,

,

а подстановка этих выражений в (4.13) даст (4.19). Начальные условия для , дающие нужное нам решение , будут:

При этом будет представляться в виде отношения выражений (4.15), которые положительны. Если быстро растет, то будет быстро убывать. Уравнение (4.20) для определения линейно и коэффициент при положителен. Следовательно, его решение, имеющее вид –

благодаря наличию множителя не будет быстро расти.

При обратной прогонке решается уравнение первого порядка при заданном значении у на правом конце. Это также не даст быстрого роста.

Метод ортогональной прогонки. Метод ортогональной прогонки или дискретной ортогонализации, предложенный С.К. Годуновым в работе [10], является дальнейшим обобщением изложенного выше метода прогонки.

Его сущность заключается в следующем. Разрешающие уравнения краевой задачи, как правило, могут быть легко преобразованы к системе дифференциальных уравнений первого порядка относительно искомых неизвестных. В векторной форме эта система уравнений может быть записана как

, (4.23)

где у – вектор искомых функций размерностью (1 х ), квадратная матрица переменных коэффициентов размерностью n; вектор свободных членов в уравнениях; порядок системы уравнений.

Решение уравнения (4.23) должно быть подчинено п граничным условиям. Будем считать, что т условий сформулировано в начале и в конце интервала интегрирования.

Известно, что общее решение неоднородного линейного уравнения ного порядка может быть представлено в виде суммы какого-либо частного решения неоднородного уравнения и линейной комбинации п линейно-независимых решений однородного уравнения –

(4.24)

Таким образом, можно записать, что .

Векторы и можно найти, решая задачу Коши. Так как любое частное решение неоднородного уравнения, то для него можно задать любые начальные условия, в том числе и нулевые –

. (4.25)

Значение этого вектора в следующей точке определяется численным интегрированием уравнения (4.23) при начальных условиях (4.25). При выборе начальных условий для векторов , являющихся решениями однородного уравнения (4.24), надо позаботиться об их линейной независимости. Проще всего этого добиться, принимая векторы равными –

При этом любая пара векторов взаимно ортогональна, что обеспечивает их линейную независимость. Выбранные векторы, однако, должны удовлетворять еще и граничным условиям при любых значениях –

Выбранные значения векторов на границе интервала интегрирования будут являться начальными условиями для решения задачи Коши на первом подинтервале.

Проинтегрируем на первом подинтервале однородное дифференциальное уравнение (4.24) при выбранных начальных условиях, а также решим задачу Коши для неоднородного уравнения (4.23) с начальными условиями (4.25). В результате интегрирования получаем решения в точке

.

После этого полученные вектора подвергаются ортогонализации и нормированию по следующим формулам –

, (4.26)

где система исходных векторов, подлежащих процессу ортогонализации и нормирования; ортонормированные векторы; коэффициенты ортонормирования, которые образуют треугольную матрицу –

.

В результате проведенной процедуры полученные векторы обладают следующими свойствами:

– скалярное произведение любой пары разных векторов равно нулю, т.е. при , следовательно, эти векторы ортогональны;

– норма каждого из векторов ( / = 1,2,3,...,n) равна единице ( ) = 1.

Подученные на первом подинтервале векторы принимают за начальные значения при решении задачи Коши для однородного уравнения (4.24) на втором подинтервале, а вектор для неоднородного уравнения (4.23).

После интегрирования получают вектора: , которые снова ортогонализируют и нормируют по формулам (4.26), вычисляя при этом матрицы и .

Интегрирование заканчивается на последнем подинтервале, в результате чего получается система векторов –

.

Граничные условия при позволяют найти постоянных , входящих в выражение .

Далее по рекуррентным соотношениям , где можно определить коэффициенты для каждого подинтервала интегрирования. Процесс ортогонализации и нормирования решений на каждом подинтервале позволяет избежать потери значащих цифр в результате округления весьма больших и малых величин.

При практическом использовании изложенного метода необходимо помнить, что вычисляемые в процессе ортогонализации скалярные произведения векторов состояния физического смысла не имеют. Поэтому результат ортогонализации существенно зависит от выбора масштабов отдельных компонентов вектора состояния.