4.5. Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) получил для решения задач динамики упругих систем достаточно широкое распространение. Его сущность заключается в том, что континуальная система разбивается на отдельные элементы (например, при решении плоской задачи – треугольные), работа которых приближенно или точно изучена. Сочленение элементов осуществляется в узловых точках, где полностью удовлетворяются условия равновесия и неразрывности перемещений. Выполнение условий совместности перемещений в узловых точках обеспечивает непрерывность перемещений и на границах элементов, поскольку предполагается, что перемещения линейно изменяются вдоль любой линии внутри и на границе элемента. Вместе с тем, деформации и напряжения, постоянные внутри каждого элемента, будут различными в каждом из элементов и, следовательно, на границах станут испытывать разрывы.

Наибольшее распространение при решении задач динамики имеет вариант МКЭ, соответствующий методу перемещений при решении задач теории упругости. Вариант МКЭ в форме метода перемещений предполагает выполнение следующих основных этапов.

1. Физическая область задачи делится на подобласти – конечные элементы.

2. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек, соответствующих узлам соединения элементов. Предполагается, что элементы взаимодействуют между собой лишь в узловых точках. Подлежат определению значения величин перемещений в каждой узловой точке.

3. Перемещения внутри каждого элемента выражаются через значения узловых перемещений. Для этого перемещения внутри конечного элемента аппроксимируются полиномом, коэффициенты которого определяются с помощью узловых значений перемещений.

4. Условия равновесия элемента получают, используя принцип возможных перемещений (с учетом геометрических и физических соотношений), а также формул, связывающих перемещения внутри элемента с узловыми перемещениями. При этом предполагается, что внешние и упругие силы приложены в узлах.

5. Представляя полную энергию системы в виде суммы энергий, каждая из которых относится к соответствующему элементу, записывают уравнение движения конечно-элементной модели рассматриваемой системы.

Поясним существо перечисленных этапов на примере получения основных соотношений МКЭ для трехмерного тела.

Тело объемом , ограниченное поверхностью S, разобьем на M элементов oбъемом . Занумеруем все узлы: . Выразим перемещения внутри каждого элемента через значения узловых перемещений. Для этого вектор перемещений точек, расположенных внутри элемента , зададим в виде полиномов по степеням координат рассматриваемой точки –

(4.43)

где матрица, зависящая от координат элемента; вектор коэффициентов полиномиального разложения функции перемещений.

В связи с тем, что количество уравнений, с которыми приходится оперировать в МКЭ, часто весьма велико, общепринято использовать матричную символику как для сокращения записи, так и для облегчения программирования.

Значения компонентов вектора коэффициентов полиномиального разложения выражаются через перемещения и координаты узловых точек.

Например, в случае решения плоской задачи для треугольного элемента с узлами разложение вектора перемещений

(α)^Т = (v, w)^Т (4.44)

можно принять в виде –

(4.45)

Верхний индекс в выражении (4.44) означает знак транспонирования матрицы.

Соотношения (4.45), записанные для узловых точек, дают систему уравнений, в результате решения которой определяются значения коэффициентов полиномиального разложения –

Отсюда –

, (4.46)

где вектор узловых перемещений; здесь (и далее) нижний индекс обозначает номер конечного элемента матрица, элементами которой являются комбинации координат узловых точек элемента.

Используя соотношения (4.43) и (4.46), установим связь между перемещениями внутри элемента и узловыми перемещениями –

(4.47)

где .

Согласно принципу возможных перемещений в положении равновесия работа внутренних сил равна работе всех внешних сил на возможных перемещениях. Это условие для системы конечных элементов имеет вид –

(4.48)

где векторы напряжений и деформаций соответственно; векторы объемных и поверхностных сил соответственно.

Напряжения и деформации связаны физическими соотношениями, которые для линейно-упругого тела имеют вид –

, (4.49)

а связь деформаций и перемещений устанавливается геометрическими соотношениями

(4.50)

где матрица упругих констант, матрица дифференциальных операторов в геометрических соотношениях.

Получим выражение для деформаций и напряжений внутри конечного элемента через перемещения узловых точек. Уравнение (4.50) с учетом соотношения (4.47) примет вид –

(4.51)

где

Для вектора напряжений (4.49) с учетом соотношения (4.51) можно получить выражение –

(4.52)

Рассмотрим отдельно левую и правую части уравнения (4.48). Работа, совершаемая упругими силами внутри того элемента, на основании соотношений (4.51) и (4.52) может быть выражена через узловые перемещения и некоторый интеграл, обозначенный символом

(4.53)

где матрица (В) называется матрицей жесткости элемента и является основной характеристикой системы в МКЭ.

Интегралы по поверхности и объему конечного элемента, содержащиеся в правой части равенства (4.48), исходя из предположения воздействия на тело из объемных только сил инерции и учитывая соотношения (4.47), можно представить следующим образом –

(4.54)

где матрица приведенных масс элемента; вектор внешних узловых сил; вектор ускорений узловых точек элемента.

С учетом равенств (4.53) и (4.54) из соотношения (4.48) можно получить уравнение движения конечного элемента.

После того, как получены матрицы масс жесткости для каждого элемента ( ), можно перейти к рассмотрению всей системы конечных элементов.

Матрицы масс и жесткости для системы имеют блочный вид –

, .

Уравнение движения конечно-элементной модели рассматриваемой системы

(4.55)

где вектора перемещений и ускорений узловых точек конечно-элементной модели соответственно, а вектор приведенных к узлам внешних нагрузок.

Интегрирование уравнения движения конечно-элементной модели (4.55) дает возможность получить неизвестные узловые перемещения в виде функций времени. Деформации и напряжения во внутренней области каждого элемента определяются по формулам (4.51), (4.52).

Для численного интегрирования уравнения движения существует большое количество шаговых методов, описание и сравнительный анализ которых можно найти, например, в работах [39,42].