1.4. Свойства решений дифференциальных уравнений задач механики

Краевые задачи (задача Дирихле). Уравнения, рассматриваемые в большинстве инженерных задач механики, как правило, записываются в частных производных. Тем или иным способом они могут быть сведены к линейному дифференциальному уравнению. Если это уравнение решается на интервале изменения аргумента, на границах которого заданы условия, которым должны удовлетворять неизвестные решения, то задача нахождения решений называется краевой задачей.

Рассмотрим сначала в качестве примера линейное дифференциальное уравнение с заданными граничными условиями –

(1.33)

Это уравнение можно записать в виде –

. (1.34)

В том случае, когда линейный оператор содержит лишь члены с четными производными неизвестной, уравнение (1.34) является типичным уравнением строительной механики и описывает вынужденные колебания упругой системы (например, при n = 6 уравнение описывает колебания упругого кольца, при n = 4 – балки). Последний член левой части уравнения при обязан своим происхождением распределенной силе инерции (после исключения параметра времени). Здесь массовая плотность материала.

Линейное уравнение называют однородным, если , и неоднородным в противном случае. Однородное уравнение описывает собственные колебания, и тогда значения соответствующие ненулевым решениям этого уравнения, называются собственными значениями краевой задачи и являются квадратами частот собственных колебаний рассматриваемой системы.

С этих позиций легко объяснить наличие лишь четных производных в дифференциальном операторе левой части уравнения, т.к. это обеспечивает положительность вещественных собственных значений.

Система решений однородного уравнения называется фундаментальной, если эти функции на рассматриваемом интервале линейно независимы, т.е. если их линейная комбинация ни при каких значениях кроме , не обращается тождественно (для всех значений x интервала изменения аргумента ) в нуль.

Физическая трактовка фундаментальных функций состоит в том, что они являются функциями форм собственных колебаний.

Если образуют фундаментальную систему решений, то является общим решением однородного уравнения.

Для фундаментальных функций выполняется условие ортогональности, определяемое соотношением –

при . (1.35)

Отсюда следует, что линейный дифференциальный оператор самосопряженный.

Самосопряженность дифференциального оператора уравнения движения упругой системы отвечает требованию условий взаимности в соответствии с теоремой Бэтти.

Разложение по собственным функциям. Пусть собственные функции нормированы в смысле –

.

Каждая функция g(x), заданная в промежутке [a;b], может быть представлена разложением в ряд Фурье по собственным функциям –

где

Если функция g(x) непрерывна вместе со своими производными и удовлетворяет граничным условиям задачи, то ряд Фурье разложения функции g(x) по собственным фцункциям краевой задачи абсолютно и равномерно сходится к g(x).

Равенство –

справедливо, если интеграл в левой его части имеет смысл. В этом случае ряд Фурье функции g(x) по собственным функциям краевой задачи сходится к g(x) в среднем, т.е.

.

Задача с начальными условиями (задача Коши). Решение дифференциального уравнения с начальными условиями связано в задачах механики, как правило, с определением характера изменения неизвестной функции по времени. Поэтому обычно для обозначения аргумента используется символ .

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида –

Решение неоднородного уравнения может быть получено с помощью квадратур, если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения одним из следующих методов.

Метод вариации произвольных постоянных. Записав искомое решение в виде , считаем не постоянными величинами, а функциями x. Потребуем удовлетворения соотношений –

(1.36)

Подставив в исходное дифференциальное уравнение, получим

(1.37)

В результате решения системы (1.36) совместно с (1.37) найдем и далее

Метод Коши. Определим в общем решении однородного уравнения постоянные так, чтобы в начальный момент времени при было где произвольный параметр. Если обозначить теперь полученное таким образом решение через то будет частным решением исходного уравнения, обращающимся в нуль со своими производными до го порядка включительно при t = t₀.