5.5. О других вариационных методах
Л.В.Канторовичем [18] предложен прямой вариационный метод, применимый к функционалам, зависящим от функций нескольких независимых переменных. Согласно этому методу приближенное решение вариационной задачи ищется в виде
(5.11)
но коэффициенты
не постоянные, как в методе Ритца, а
представляют собой неизвестные функции
одной из независимых переменных
.
В этом случае
интеграл
(приближение
интеграла
)
оказывается функционалом –
зависящим от
функций переменной
.
Функции
выбираются аналогично константам
в методе Ритца, а именно из условий
экстремума исходного функционала
.
Если ограничиться
в сумме (5.11)
членами, можно получить приближенное
решение, причем более точное, чем по
методу Ритца, с теми же координатными
функциями при том же значении
.
Большая точность объясняется тем, что
класс функций
значительно
шире класса функций
,
а среди более широкого класса функций
легче выбрать те, которые будут
аппроксимировать точное решение с
меньшими погрешностями.
В последнее время
благодаря трудам российских математиков
для решения вариационных задач применяется
конечно-разностный метод Эйлера, сущность
которого заключается в том, что значения
функционала (5.8) рассматриваются на
отрезках прямых, представляющих п
звеньев
ломаной – приближенного решения. При
этом задаются абсциссы граничных точек
звеньев, и функционал (5.8) становится
функцией
ординат граничных точек ломаной линии.
Указанные ординаты определяются на
основании условия экстремума этой
функции, т.е. из системы уравнений –
Если увеличивать число разбиений п, то в пределе можно получить точное решение задачи.
В заключение этого раздела нужно отметить, что, помимо описанных выше вариационных методов, существуют и другие. Для знакомства с ними можно рекомендовать обстоятельные работы [25,26], в которых, кроме того, дано подробное обоснование рассмотренным выше методам.
6. Метод бубнова-галеркина
К методу Ритца тесно примыкает приближенный метод решений дифференциальных уравнений, разработанный И.Г. Бубновым и Б.Г. Галеркиным. Этот метод не является вариационным, но относится к прямым методам решения краевых задач. Процедура этого метода часто приводит к тем же операциям, что и метод Ритца. Он удобен и при решении нелинейных задач.
Поясним сущность метода Бубнова-Галеркина на примере построения приближенного решения дифференциального уравнения
(6.1)
где
заданный дифференциальный оператор.
Как и ранее, решение ищется в виде конечной суммы –
(6.2)
причем функции
должны
удовлетворять граничным условиям задачи
и составлять полную систему.
Если является точным решением задачи (6.1), очевидно, что –
и в этом случае
функция
,
тождественно равная нулю, ортогональна
ко всем функциям
,
т.е.
.
Если в качестве решения задачи (6.1) взять приближенное (6.2), то
Ясно, что значение ошибки зависит от выбора коэффициентов.
И.Г. Бубнов и Б.Г.
Галеркин предложили определять
коэффициенты
,
при которых эта ошибка минимальна, из
условия ортогональности ее ко всем
функциям
,
т.е. из уравнений
или
.
(6.3)
В этом случае при достаточно большом числе п членов суммы (6.2) приближенное решение будет весьма мало отличаться от точного.
Подставив сумму (6.2) в выражение (6.3), получим –
Введя функции
предыдущее
равенство можно записать
в виде
Потребуем, чтобы
функции
были ортогональны друг к другу вместе
со своими производными. Тогда в сумме
останется лишь член, у которого
,
что дает возможность определить
коэффициенты
из уравнения
Заметим, что при
переменных коэффициентах дифференциального
оператора
требуется ортогональность функций
с соответствующим весом.
Сходимость метода Бубнова-Галеркина доказана для интегральных уравнений типа Фредгольма и для обыкновенных дифференциальных уравнений с вполне непрерывным оператором при однозначности решения. Более подробные сведения по вопросу о сходимости метода содержатся в работе [26].
Метод Бубнова-Галеркина успешно применяется как для решения статических и динамических задач в перемещениях, так и для приближенного определения критических нагрузок или частот собственных колебаний упругих систем. В этом случае задача сводится к отысканию собственных значений определителя алгебраической системы (6.3).
Достоинством метода Бубнова-Галеркина является то, что путем подходящего подбора аппроксимирующих функций можно значительно ускорить сходимость приближенного решения. Это позволяет инженеру активно вмешиваться в порядок вычислений, применяя свой производственный опыт и техническую смекалку. "Следует учесть, – пишет Х.М. Муштари в предисловии к книге И.В. Свирского, – что усложнение программирования при использовании метода Бубнова-Галеркина вознаграждается тем, что можно сразу получить хорошо обусловленную систему уравнений путем подходящего подбора аппроксимирующих функций. Эту систему при большом числе неизвестных значительно легче решать, чем системы, полученные другими способами, при этом удается избежать накопления ошибок от округления чисел" [33].
Особенно наглядно проявляются преимущества рассматриваемого метода при решении пространственных задач динамики упругих систем, когда искомые функции описываются сложной исходной системой дифференциальных уравнений. Применение матричных методов здесь бывает сопряжено со столь большими системами уравнений, что их трудно решать даже с помощью современных ЭВМ. Между тем, использование для этих задач метода Бубнова-Галеркина часто приносит практически ценные результаты.
Продемонстрируем применение метода Бубнова-Галеркина при решении статической задачи теории упругости в перемещениях. Исходная система дифференциальных уравнений (уравнения равновесия и уравнения Ламе) имеет вид –
(6.4)
Приближенное решение этой системы будем искать в виде –
(6.5)
Функции
должны
удовлетворять соответствующим статическим
и кинематическим граничным условиям
задачи и представлять собой полные
системы ортогональных функций.
В соответствии с процедурой метода Бубнова-Галеркина можно записать –
Правые части этих уравнений представляют собой известные величины. Таким образом, и в этом случае получена система линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов ак, bк, ск, причем число уравнений равно количеству коэффициентов (неизвестных).
Метод Бубнова-Галеркина в сравнении с методом Ритца позволяет значительно упростить вычисления в случаях, когда можно удовлетворить статическим граничным условиям.