3.3. Видоизменение итерационного метода. Двойные последовательные приближения
Видоизменениями итерационного метода является метод двойного последовательного приближения по прогибу и нагрузке, описанный И.В. Свирским в работе [33], метод наискорейшего спуска и другие варианты. Однако отмеченное выше ограничение сходимости проявляется во всех случаях, когда необходимо определить решение неоднородной задачи.
Вместе с тем итерационный метод может быть успешно применен к определению собственных значений уравнения (3.1).
Пусть
отрицательно и равно
.
Задача определения собственных значений
описывается однородным уравнением
Непосредственное интегрирование этого уравнения приводит к формуле итераций –
Доказано, что этот процесс приводит к предельному значению
которое в точности
совпадает с наименьшим характеристическим
значением дифференциального уравнения
(т.е. определяет наименьшую критическую
нагрузку или в других случаях частоту
первого тона колебаний). Функции
сходятся
к частному решению, соответствующему
этому критическому значению.
4. Методы условной дискретизации континуальных систем
В связи с распространением электронно-вычислительных машин наблюдается ярко выраженное стремление к применению для решения задач расчета сложных упругих систем методов линейной алгебры. Этим объясняется широкое проникновение теории матриц в строительную механику. Действия с матрицами легко программируются и открывают большие возможности для использования стандартных подпрограмм для перемножения, обращения матриц и отыскания их собственных значений.
Применение матричных методов, как правило, сопровождается заменой континуальной упруго-инерционной системы моделью, состоящей из конечного числа более простых элементов. Реализациями матричных методов являются метод начальных параметров, метод коэффициентов динамической жесткости, метод ортогональной прогонки, конечно-разностный метод, метод конечных элементов. Остановимся подробней на существе этих методов.
4.1. Метод начальных параметров
Основная идея этого метода может быть показана на примере расчета свободных колебаний балки переменного сечения. Движение такой балки описывается, как известно, дифференциальным уравнением в частных производных с переменными коэффициентами
или в амплитудных значениях перемещений
с соответствующими граничными условиями, определенными по два на каждом конце балки.
Эта краевая задача
при произвольных переменных коэффициентах
и
точного
решения не имеет. Поэтому рекомендуется
балку переменного сечения заменить
условно балкой, состоящей из
однородных участков с осредненной по
длине каждого из них погонной жесткостью
и массой.
Теперь уравнение движения каждого из участков имеет посгоянные коэффициенты –
,
и его решение с
использованием обозначения
может быть записано в виде –
.
Здесь используются функции Крылова –
обладающие
свойствами
На основе известных
зависимостей, связывающих угол поворота
,
изгибающий
момент М и
перерезывающую силу
,
можно
записать, что
если обозначить
соответствующие величины на левом конце
балки
,
то можно
получить равенства для первого участка
–
(4.1)
Полагая в этих
равенствах
,
получим
значения перемещения, угла поворота,
момента и перерезывающей силы на правом
конце первого участка. Используя условия
сопряжения на границах участков, можно
исключить неизвестные величины в точках
сопряжений и выразить
и
через
соответствующие значения на левом конце
балки.
Повторяя эти операции на каждом участке балки, придем к выражениям для ее правого конца –
Как правило,
граничные условия для балки бывают
однородны. Примем для определенности,
что
и
;
тогда –
(4.
2)
Так как
и
отличны от
нулей, то для нетривиальности решений
системы уравнений (4.2) необходимо
потребовать обращения в нуль определителя
–
.
(4. 3)
Это уравнение
определяет квадраты частот собственных
колебаний
балки.
Для упрощения процесса составления формул (4.1) введем в рассмотрение матрицу-столбец первого порядка –
и квадратную матрицу четвертого порядка –
Тогда соотношения (4.1) можно переписать в виде одного матричного равенства
(4.
4)
Каждая из формул (4.4) символизирует перенос столбца с одного конца участка в другой. Поэтому формулы (4.4) получили название формул переноса, а матрица D – матрицы переноса.
Записывая при
одинаковых
условия сопряжения участков в виде
где
,
,
и, исключая из
соотношений промежуточные значения
матриц, получим
где
матрица переноса всей балки, полученная
как произведение матриц переноса
участков.
Использование
граничных условий
дает системы
уравнений –
(4.
5)
В этих уравнениях для простоты опущены индексы участков.
Частотное уравнение можно подучить, приравнивая нулю определитель системы (4. 5) –
.
Заметим, что метод начальных параметров позволяет производить расчет не только прямолинейных стержней, но и сложных пространственных стержневых систем, элементы которых соединяются между собой под углом, а также с различного рода промежуточными опорами и сосредоточенными массами. Естественно, что это накладывает особенности на построение матрицы переноса. Все операции с матрицами, как было отмечено выше, легко поддается программированию и позволяют использовать стандартные подпрограммы. Однако следует отметить, что при расчете балок переменного сечения на погрешность замены ее описанной выше моделью, по-видимому, понижающейся с увеличением числа участков, накладываются погрешности машинного счета, которые с ростом числа участков увеличиваются. Таким образом, точность расчета имеет определенные ограничения.