1.5. Связь между дийференциальными и ингегральными уравнениями

Линейное дифференциальное уравнение с начальными условиями и интегральное уравнение Вольтерра. Решение любого дифференциального уравнения –

(1.38)

с непрерывными коэффициентами при начальных условиях

(1.39)

может быть сведено к решению интегрального уравнения –

, (1.40)

которое носит название уравнения Вольтерра второго рода.

Это делается следующим образом. Полагаем –

а далее последовательно

(1.41)

Принимая во внимание начальные условия (1.39), замечаем, что –

(1.42)

Возвращаясь к дифференциальному уравнению (1.38), увидим, что его можно записать в виде интегрального уравнения (1.40), если положить –

(1.43)

и

. (1.44)

называют ядром интегрального уравнения, а функцию правой частью.

При уравнение (1.40) называется неоднородным, а при однородным интегральным уравнением Вольтерра второго рода.

В том случае, когда уравнение содержит неизвестную лишь под знаком интеграла, оно называется уравнением первого рода.

Задача с краевыми условиями и интегральное уравнение Фредгольма. Аналогично тому, как дифференциальное уравнение (1.38) с заданными начальными условиями приводится к интегральному уравнению Вольтерра. Это же уравнение при заданных краевых условиях на обоих концах интервала 0<t<1 приводится к интегральному уравнению Фредгольма.

Без ограничения общности условимся рассматривать однородные краевые условия –

. (1.45)

Это следует из того факта, что неоднородные граничные условия можно привести к однородным заменой переменной, причем в уравнении изменится лишь правая часть.

В дальнейшем для простоты изложения ограничимся случаем самосопряженного уравнения при n = 2 –

(1.46)

Напомним, что уравнение называется самосопряженным, потому что, обозначая через дифференциальный оператор –

(1.47)

(т.е. левую часть уравнения), можно получить

(1.48)

Краевые условия можно записать в более простом виде –

, (1.49)

если ввести дифференциальные операторы

(1.50)

и сокращенные обозначения

В общем случае однородное уравнение (1.46) с однородными же граничными условиями (1.50) имеет только нулевое (тривиальное) решение . Поэтому вместо уравнения (1.46) будем рассматривать несколько иное дифференциальное уравнение

(1.51)

содержащее параметр .

Необходимо установить при каких значениях параметра уравнение (1.51) с граничными условиями (1.50) допускает отличное от нуля решение.

С этой целью введем в рассмотрение функцию Грина системы, состоящей из уравнения (1.51) и граничных условий (1.50). Такая система называется системой Штурма-Лиувиля.

Функция Грина это функция переменной x и параметра s (0 <s <1), удовлетворяющая следующим условиям:

1) рассматриваемая как функция x, удовлетворяет дифференциальному уравнению (1.51) во всех точках интервала [0;1] за исключением точки x = s;

2) удовлетворяет обоим краевым условиям (1.50);

3) непрерывна для 0≤x≤1, а ее производная непрерывна только для 0 ≤ x < s и s <x ≤1 и имеет скачок величины в точке x = s, т.е. –

(1.52)

Если и фундаментальная система решений уравнения (1.46), то легко построить функцию Грина. Для этого достаточно положить –

где четыре неизвестные функции s, которые надо определить, используя граничные условия, условие непрерывности G(s+0,s) = G(s-0,s) и условие разрыва (1.52). Эти четыре соотношения приводят к неоднородной алгебраической системе уравнений, определитель которой равен –

и отличен от нуля.

Положим теперь и проинтегрируем обе части тождества (1.49) на основном интервале [0;1]. Учитывая разрыв первой производной функции Грина, получим –

Поэтому –

(1.53)

Упростив эту формулу, получим выражение –

.

В этом случае система (1.50)-(1.51) приводится к интегральному уравнению Фредгольма, если подставить в уравнение (1.51) вместо Таким образом, получим однородное интегральное уравнение Фредгольма –

. (1.54)

Из-за множителя ядро этого уравнения несимметрично. Однако функция Грина симметрична, т.е. –

Когда функция не обращается в нуль и положительна (в ином случае следует знак минус отнести к ), то уравнение (1.54) приводится к интегральному уравнению с симметричным ядром, если положить –

.

Возвращаясь к переменным получаем интегральное уравнение –

(1.55)

с симметричным ядром

(1.56)

Доказано, что полученное интегральное уравнение с симметричным ядром имеет нетривиальные решения для бесконечного числа счетных значений параметра , а именно собственных значений симметричного ядра (1.56). Каждому собственному значению отвечает самое большое два линейно независимых собственных решения.

До сих пор речь шла об однородном уравнении. В том случае, когда исходное дифференциальное уравнение имеет правую часть , оно сводится соответственно к неоднородному интегральному уравнению Фредгольма –

, (1.57)

где

.