5. Вариационные методы

5.1. Общие замечания

Исследование различных явлений в сопротивлении материалов, строительной механике и теории упругости на определенном этапе сводится к решению математических задач, включающих, как правило, дифференциальные уравнения. Эти уравнения описывают поведение некоторой физической модели, аппроксимирующей реальные условия работы конструкции, сооружения, изделия. При этом задаются внешние нагрузки, действующие на рассматриваемую конструкцию, и считаются известными условия ее закрепления.

Таким образом, математические задачи механики деформируемого тела представляют собой в основном краевые задачи для одного или нескольких дифференциальных уравнений с одной или несколькими независимыми переменными.

Точное решение таких краевых задач можно подучить лишь в немногих относительно простых случаях. Большинство же практически важных задач не удается решить точно либо из-за трудоемкости и громоздкости выкладок, либо из-за невозможности постановки задачи в какой-либо удобной функциональной форме, либо по причине трудности удовлетворения граничным условиям; кроме того, могут быть неизвестны функции, являющиеся решениями полученных дифференциальных уравнений.

В этих случаях используются различные методы приближенного решения краевых задач. Среди них важное место занимают численные методы, в особенности метод конечных разностей и метод конечного элемента, дающие численные значения искомых функций (решений) при тех или иных значениях аргумента. Другую группу приближенных методов решения краевых задач составляют так называемые прямые методы, которые позволяют свести задачи интегрирования дифференциальных или интегральных уравнений к конечным системам алгебраических. К прямым относятся и вариационные методы, имеющие широкое практическое применение.

Известно, что во многих случаях задачу интегрирования дифференциальных уравнений можно заменить задачей об отыскании функций, которые сообщают некоторому интегралу наименьшее значение, т.е. вариационной задачей. Например, при решении краевых задач теории упругости вместо интегрирования дифференциальных уравнений можно разыскивать последовательность функций, минимизирующую интеграл энергии. Приближенные прямые методы решения подобных задач называют вариационными методами.

Не сопоставляя достоинства и недостатки численных и вариационных методов, следует отметить, однако, что наличие приближенного аналитического решения дает возможность качественного анализа полученного результата: поведения функций, влияния параметров, условий существования, сравнения с некоторыми точными решениями и т.п. Для получения такого приближенного аналитического выражения искомой функции вариационные методы требуют решения систем одного или двух, трех, редко четырех уравнений, причем обеспечивается достаточно хорошее приближение.

5.2. Вариационные уравнения лагранжа, кастильяно, гамильтона

В зависимости от постановки задач теории упругости для получения исходного вариационного энергетического уравнения используются различные вариационные принципы механики. Например, при решении статических задач в перемещениях исходят из вариационного принципа Лагранжа, при решении в напряжениях – из принципа Кастильяно, а для динамических задач применяется принцип Гамильтона.

Выведем вариационные уравнения для общего случая напряженно-деформированного состояния упругого тела. Оно, как известно, описывается системой из 15 уравнений теории упругости, включающей в себя уравнения равновесия, геометрические и физические (закон Гука) соотношения. Искомые функции должны удовлетворять конкретным граничным условиям.

Точное решение задачи теории упругости определяет истинное напряженно-деформированное состояние рассматриваемого тела. Любое приближенное решение этой задачи определяет близкое ("соседнее") состояние , отличающееся от истинного в общем случае как напряжениями, так и перемещениями. Приближение или сравнение "соседнего^» состояния с истинным достигается двумя способами: во-первых, можно считать, что напряженные состояния одинаковы, а перемещения в этих состояниях различаются между собой на – вариации перемещений; во-вторых, возможен подход, при котором варьируются напряжения при неизменных перемещениях.

Рассмотрим сначала вариационную задачу, основанную на варьировании перемещений.

Как известно, принцип возможных перемещений Лагранжа утверждает, что в положении равновесия при идеальных связях работа всех сил на возможных перемещениях равна нулю. В задачах теории упругости под силами подразумевают внутренние напряжения, компоненты поверхностной и объемной нагрузок, а в качестве возможных перемещений в рассматриваемом случае приникают вариации перемещений.

Таким образом, начало возможных перемещений применительно к упругому телу имеет вид –

, (5.1)

где первый интеграл выражает работу поверхностных сил, второй – работу объемных сил, а третий – работу внутренних напряжений на возможных перемещениях; удельная потенциальная энергия деформации упругого тела.

В выражении (5.1) компоненты поверхностных и объемных сил считаются постоянными, неварьируемыми величинами. В таком случае, вынося знак вариации за знаки всех интегралов, можно получить –

(5.2)

Здесь в квадратных скобках представлено выражение полной потенциальной энергии упругого тела в истинном состоянии. Она складывается из потенциальной энергии деформации и потенциала внешней нагрузки. Равенство нулю первой вариации полной энергии означает, что энергия в истинном состоянии имеет экстремум. Показывается, что вторая вариация при этом положительна, а значит, потенциальная энергия, соответствующая истинному состоянию равновесия упругого тела, минимальна.

Таким образом, истинными перемещениями (точное решение задачи теории упругости в перемещениях) будут те, при которых полная потенциальная энергия упругого тела приобретает минимальное значение. В этом и заключена суть принципа Лагранжа – принципа минимума для перемещений.

Нужно отметить, что вариационное уравнение Лагранжа (5.2) включает в себя как уравнения равновесия, так и граничные условия. Следовательно, при решении задачи в перемещениях с использованием вариационного уравнения Лагранжа нет необходимости в удовлетворении ни уравнений равновесия, ни статических граничных условий – они удовлетворяются автоматически.

Напомним, что рассмотренное вариационное уравнение Лагранжа (5.1) получено в результате варьирования перемещений. Существует, как указывалось выше, и другой подход к решению вариационной задачи, основанный на варьировании напряжений.

В этом случае начало возможных перемещений будет записываться в виде –

.

Если объемные силы фиксированы, то и, вынося знак вариации за знак интеграла, можно получить –

. (5.3)

Уравнение (5.3) – это вариационное уравнение Кастильяно. Оно утверждает, что истинной является та согласная с внешним нагружением система напряжений, для которой энергия внутренних и поверхностных сил минимальна. Еще раз отметим, что использование уравнения Кастильяно наиболее удобно при решении задачи в напряжениях.

В задачах динамики плодотворным является так называемый вариационный принцип Гамильтона, суть которого состоит в следующем. Если ко внешним силам, действующим на движущееся тело, добавить силы инерции, то согласно принципу д'Аламбера можно рассматривать это тело находящимся в состоянии равновесия в любой момент времени.

Таким образом, в принципе возможных перемещений применительно к изучаемому телу необходимо дополнительно учесть работу компонент сил инерции –

на соответствующих возможных перемещениях , т. е. к выражению (5.2) вариации полной потенциальной энергии добавить элементарную работу, представляемую как –

Тогда вариационное уравнение Лагранжа примет вид –

. (5.4)

Рассмотрим две траектории движения: одну истинную, а другую близкую к ней, совпадающую с истинной траекторией только в граничные моменты временного интервала [ ]; другими словами, вариации перемещений , на которые вторая траектория отличается от первой, равны нулю в моменты времени , и и, вообще говоря, отличны от нуля при < < .

Проинтегрировав выражение (5.4) по времени на интервале [t₁; t₂], получим –

(5.5)

Интегрирование второго слагаемого выражения (5.5) по частям дает –

,

где величина –

представляет собой кинетическую энергию тела. Таким образом, работа сил инерции на возможных перемещениях в некотором интервале времени есть не что иное, как вариация кинетической энергии тела в том же временном промежутке.

Теперь соотношение (5.5) принимает вид –

.

Это и есть вариационное уравнение Гамильтона, свидетельствующее о том, что именно для действительного движения между моментами времени и интеграл принимает экстремальное значение, в чем как раз и состоит существо принципа Гамильтона или принципа наименьшего действия.