2. Матрицы в технике

Первая из работ [41], в которых подробно рассмотрены матрицы и их практические приложения, опубликована английским математиком Кэли в 1857 г. Матричные обозначения компактны, удобны и весьма полезны при выполнении линейных преобразований. Они позволяют развить стройный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Интерес к теории матриц особенно возрос после того, как в 1925 г. Гейзенберг, Борн и Иордан использовали ее в задачах квантовой механики [43]. После монографии Кэли появилась обширная литература, посвященная приложениям матриц во многих областях математики, физики и техники. Обзор этой литературы (вплоть до 1936 г.) можно найти в книге Веддерберна [46]. Развитие современных цифровых вычислительных машин, легко осуществляющих основные матричные операции, придало дополнительный толчок широкому использованию матриц в различных областях знаний.

Матрицы находят вполне естественное применение во многих областях техники. Многие соотношения теории упругих систем, распространения волн и механических колебаний могут быть сформулированы в компактной форме на языке матриц. Используя теоремы матричной алгебры, удается получить ряд практически важных численных результатов. В этой главе рассматриваются основные положения матричной алгебры, которые необходимы для понимания того, как используются матрицы в типичных задачах механики. В последующих разделах приведены примеры приложения матричного исчисления к практическим задачам техники.

Определение матрицы. Матрицей называется совокупность (m x n) величин, размещенных в виде прямоугольной таблицы из m столбцов и n строк в следующем виде –

⌠а₁₁ а₁₂ … а_1m│

(a) = (A) = A =│а₂₁ а₂₂ … а_2m│

│…………….…│

│а_n1 а_n2 … а_nm⌡, j = 1, … m; i = 1, … n.

Символы , (A) или просто А используются в качестве краткого обозначения всей совокупности этих величин, т.е. матрицы. Каждая величина а_ij (i – номер строки, j – столбца) из этой совокупности называется элементом матрицы. Матрица из т столбцов и п строк называется прямоугольной матрицей порядка (m x n); если , то матрица называется квадратной порядка n.

Основные типы матриц.

а) Вектор-строка. Совокупность т величин, расположенных в одну строку, образует матрицу порядка (т x 1). Такая матрица называется матрицей-строкой, линейной матрицей или вектором-строкой.

б) Вектор-столбец. Совокупность п величин, расположенных в один столбец, образует матрицу порядка (1 x п) и называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом (вектором-колонкой).

в) Скаляр. Матрица порядка (1 x 1), т. е. матрица, содержащая один элемент, отождествляется в некоторых случаях с соответствующим обычным числом, или скаляром.

г) Диагональная матрица. Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условиям при , так что все элементы ее, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей.

д) Единичная матрица. Единичной называется диагональная квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны единице. Единичная матрица порядка (n x n) обозначается через E_n.

е) Нулевая матрица. Матрица порядка (m x n), все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей порядка (m x n).

ж) Транспонированная матрица. Транспонирование матрицы (А) состоит в переходе от нее к матрице (А)^T, строками которой являются столбцы матрицы (А), а столбцами – ее строки. При транспонировании прямоугольных матриц меняется их порядок. Если порядок исходной матрицы был (m x n), то порядок транспонированной составит (n x m). Отсюда следует, что транспонирование матрицы-столбца дает матрицу-строку, и наоборот.

з) Симметрическая и кососимметрическая матрицы. Симметрической называется квадратная матрица, симметричная относительно главной диагонали; следовательно, (А) – симметрическая тогда и только тогда, когда (А)^T = (А). Если же (А)^T = – (А), то (А) называется кососимметрической матрицей.

Некоторые важные определения.

а) Определитель матрицы. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы (А) называется число, обозначаемое , │A│, det A и для матрицы второго порядка, состоящей из элементов а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂, вычисляемое по правилу –

det A = а₁₁ а₂₂ – а₁₂ а₂₁.

Определители матриц более высоких порядков вычисляют, сводя исходные матрицы к матрицам второго порядка на основании универсального правила вычеркивания с помощью разложения по элементам любого столбца или строки (результат от этого не изменяется) с учетом того, что знаки чередуются в шахматном порядке, как показано ниже. Например, для вычисления детерминанта третьего порядка надо найти три детерминанта второго, четвертого – предварительно четыре третьего и т.д. Разложение матрицы третьего порядка (А) по элементам первой строки имеет вид –

│а₁₁ а₁₂ а₁₃│ │+ – +│

det A =│а₂₁ а₂₂ а₂₃│ =│– + –│ =

│а₃₁ а₃₂ а₃₃│ │+ – +│

= а₁₁(а₂₂ а₃₃ – а₂₃ а₃₂) – а₁₂(а₂₁ а₃₃ – а₂₃ а₃₁) + а₁₃(а₂₁ а₃₂ – а₂₂ а₃₁).

б) Вырожденные матрицы. Квадратная матрица (а) с детерминантом , равным нулю, называется вырожденной. Если же |а| 0, то матрица (а) называется невырожденной.

в) Алгебраическое дополнение. Алгебраическим А_ij дополнением элемента а_ij квадратной матрицы (А), расположенного в i-той строке и j-том столбце, называется определитель матрицы, получаемой из (А) вычеркиванием i-той строки и j-того столбца, а также умноженный на (– 1)^i+j.

г) Обратная матрица. Обратная матрица для заданной квадратной матрицы А получается заменой каждого ее элемента его алгебраическим дополнением, разделенным на det A, с последующим транспонированием. Обратная матрица обозначается через А^-1, причем А∙А^{- 1}= А^{- 1}∙А = E_n.

д) Равенство двух матриц. Две матрицы (А) и (В) равны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же порядок и все их соответствующие элементы равны. Таким образом, равенство (А) = (В) предполагает, что (А) и (В) одного порядка, а .

Алгебраические операции над матрицами.

1. Сложение и вычитание матриц. Эти операции могут быть выполнены лишь при условии, когда складываемые (вычитаемые) матрицы одинакового порядка. Если матрицы (А) и (В) одного и того же порядка, то суммой (А) и (В) называется такая матрица (С), элементы которой . Другими словами, равенство (А) + (В) = (С) означает, что . Аналогично определяется вычитание: если (А) – (В) = (С), то с_ij = a_ij – b_ij.

2. Умножение матриц на число. Умножение матрицы (А) на обычное число или скаляр k (т. е. на величину, не являющуюся матрицей) определяется соотношением –

k * A = (kA) = (В),

причем

Следовательно, матрица (А) оказывается умноженной на скаляр , если каждый элемент ее умножен на этот скаляр. Так как k(A) = (A)k, то умножение на скаляр коммутативно (перестановочно).

3. Умножение матриц. Умножение матриц определяется таким образом, что оказывается возможным в компактном виде представлять результаты линейных преобразований. Две матрицы могут быть перемножены лишь тогда, когда число столбцов первой из них равняется числу строк второй. Матрицы, удовлетворяющие этому условию, называются соответственными. Если две матрицы соответственные, то их произведение определяется соотношением –

получаемым по правилу “строка х на столбец” –

(2.1)

причем порядки матриц (А), (В) и (С) равны соответственно (p х m), (n х p) и (n х m). Для примера рассмотрим матрицы –

Матрица (а) имеет порядок (3 х 3), а матрица порядок (2 х 3), следовательно, эти матрицы соответственные. Правило, выраженное равенством (2.1), дает следующее произведение этих матриц (матрица-произведение, как и должно быть, имеет порядок (2 х 3)) –

(2.2)

а) Произведение квадратных матриц. Если (А) и (В) – две квадратные матрицы одного и того же порядка, то их произведение (С) = (А)(В) является также квадратной матрицей такого же порядка, что (А) и (В). Из определения (2.1) следует, что (А)(В) ≠ ≠ (В)(А), т.е. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативно. Если две матрицы таковы, что (А)(В) = (В)(А) то они называются коммутирующими или перестановочными матрицами. Единичная матрица коммутирует с каждой квадратной матрицей одинакового с ней порядка –

EA = AE = A,

где (A) имеет тот же порядок, что и матрица E.

Произведение (А)(В) считают полученным умножением матрицы (В) слева на матрицу (А) или же умножением матрицы (А) справа на матрицу (В).

б) Умножение слева матрицы-столбца на матрицу-строку. Рассмотрим следующее произведение –

Это есть произведение матрицы порядка (3 х 1) на матрицу порядка (1 х 3). Порядок матрицы-произведения равен (3 х 1) (1 х 3) = (1 х 1), и она оказывается, таким образом, скаляром.

в) Умножение справа матрицы-столбца на матрицу-строку. Рассмотрим произведение –

Правило (2.2) дает в этом случае, что (3 х 1) (1 х 3) = (3 х 3), поэтому произведение оказывается квадратной матрицей из трех строк и трех столбцов.

г) Умножение квадратной матрицы на матрицу-столбец справа. Рассмотрим следующее произведение матриц –

(2.3)

Таким образом, произведение квадратной матрицы и матрицы-столбца оказывается матрицей-столбцом. В этом случае для порядков матриц имеет место соотношение (3 х 3) (1 х 3) = (1 х 3). Систему линейных уравнений –

можно в силу (2.3) записать в следующей компактной матричной форме

А Х = b.

Здесь (А) – квадратная матрица основной системы, составленная из коэффициентов при искомых неизвестных x_i, а (Х) и (В) – матрицы-столбцы, элементами которых являются величины и .

д) Сложные произведения матриц.

За исключением коммутативного закона, все обычные законы алгебры приложимы к матрицам. Особая роль принадлежит ассоциативному закону в сложных произведениях матриц. Если матрицы (А) и (В), а также (В) и (С) соответственные, то может быть образовано произведение –

Таким образом, прямые скобки могут быть опущены, и запись произведения (А) (В)(С) может быть упрощена, т.к. двойное суммирование выполнимо в любом из двух указанных порядков.

Следует отметить, что произведение ряда матриц будет иметь смысл только в том случае, если каждые две соседние матрицы будут соответственными. Если квадратная матрица умножается сама на себя п раз, то получающаяся в результате матрица обозначается через (А)ⁿ. Иными словами, (A)ⁿ = (A)(A)…(A) (правая часть содержит п сомножителей).

е) Транспозиция произведения. Пусть (А) – матрица порядка (n х p), а (B) – порядка (p х m). Тогда произведение (C) = (A)(B) является матрицей порядка (n х m). Транспонированные матрицы (A)^Т и (B)^Т имеют соответственно порядки (p х n) и (m х p). Следовательно, они оказываются соответственными для составления произведения (A) ^Т на (B) ^Т. Это произведение является матрицей порядка (m х n), которая может быть получена транспонированием матрицы (C). Следовательно, если транспонируется матрица-произведение, то порядок матриц-сомножителей, образующих это произведение, должен быть изменен на обратный –

Аналогично

и т. д.

Обратная матрица. Деление матриц. Если определитель |A| квадратной матрицы (A) отличен от нуля, то матрица (A) называется невырожденной (см. выше). В этом случае она будет иметь обратную матрицу (A)^{- 1}, такую, что –

А∙А^{- 1}= А^{- 1}∙А = E_n.

где E_n – единичная матрица того же порядка, что и (A).

Матрица, обратная матрице (A), определяется соотношением –

А^{- 1} = (А_ij/ det A)^Т.

Для невырожденной квадратной матрицы существует обратная матрица, умножение на которую имеет много общего с обычным делением в алгебре. Матрица, обратная для произведения матриц, оказывается равной произведению матриц, обратных для каждого сомножителя, составленному в порядке, противоположном порядку в исходном произведении. Если , то . Если (A) – невырожденная матрица, то отрицательная степень (A) определяется путем возведения обратной матрицы (A)^-1 в положительную степень, т. е. (A)^-n = (A^-1)^-n.

Характеристическая функция и характеристическое уравнение матрицы. Если скалярный параметр и (М) квадратная матрица порядка п, то матрица

K = E_n – M,

где E_n – единичная матрица п-го порядка, называется характеристической матрицей для матрицы (М). Определитель характеристической матрицы det К называется характеристической функцией матрицы (М). Ее часто обозначают

, (2.4)

а уравнение

(2.5)

называют характеристическим уравнением матрицы (М). Таким образом, если (М) – квадратная матрица n-го порядка, то ее характеристическое уравнение является уравнением n-ной степени относительно ; п корней этого уравнения называют характеристическими корнями или собственными значениями матрицы (М).

Приведение матрицы к диагональной форме. Матрицу, состоящую из одного столбца, иногда называют вектором-столбцом. Если есть вектор-столбец п-го порядка и квадратная матрица (М) такого же порядка, то произведение

Y = M * х

отражает тот факт, что вектор (Y) получается из вектора (х) путем линейного преобразования. Квадратная матрица (М) называется матрицей преобразования. Если потребовать, чтобы

Y = μ (X),

то последнее произведение можно записать в виде –

(2.6)

и в этом случае действие умножения матрицы (М) на вектор сводится к умножению его на скалярный множитель . Уравнение (2.6) может быть записано как

. (2.7)

Это соотношение представляет собой систему линейных однородных уравнений с неизвестными х₁, х₂,..., х_п. Решение этой системы, кроме тривиального случая, когда все элементы х_i равны нулю, существует в том случае, когда определитель det К обращается в нуль. Поэтому скаляр может принимать только значения которые являются корнями характеристического уравнения

. (2.8)

Таким образом, всевозможные значения , удовлетворяющие уравнению (2.8), оказываются собственными значениями матрицы (М).

Для каждого собственного значения имеет место соответствующее уравнение (2.7), которое может быть записано в следующем виде –

(2.9)

где (х)_i – ненулевой вектор-столбец. Эти п векторов называются собственными векторами матрицы (М). Если уравнение (2.9) умножить слева на (М), то

.

Повторными умножениями на (М) можно получить, что

(2.10)

Обозначим i-тый собственный вектор через

и примем его за 1-й столбец квадратной матрицы (х) –

. (2.11)

Если ввести в рассмотрение квадратную диагональную матрицу (d)

,

то уравнения (2.9) можно записать следующим образом

. (2.12)

Когда п собственных значений матрицы (М) различны, можно показать, что матрица (х) невырожденная и обладает обратной матрицей (х)^-1. Следовательно, уравнение (2.12) представимо и в таком виде –

М = (х)(d)(х)^{– 1}.

Последнее равенство говорит о том, что матрица (х), приводящая матрицу (М) к диагональному виду, может быть составлена из собственных векторов матрицы (М), как это показано выше. Это оказывается возможным в случае, когда все собственные значения (М) различны. Если два или более собственных значения матрицы (М) оказываются совпадающими, то приведение матрицы к диагональному виду не всегда оказывается возможным.