9. Приближенные методы решения интегральных уравнений

Приближенное решение уравнения Вольтерра второго рода. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода

(9.1)

легко решается методом последовательных приближений (Пикара).

Положим сначала и определим соотношением –

Продолжая действовать таким же образом, получаем бесконечную последовательность функций , которые удовлетворяют рекуррентным соотношениям –

.

Более того, полагая

,

заметим, что –

(9.2)

где

так что

и

или

Обозначив можно записать –

Аналогично устанавливается, что –

,

где итерированные ядра определяются следующей формулой –

. (9.3)

Кроме того, нетрудно убедиться, что –

.

Таким образом, естественно ожидать, что решение уравнения (9.1), если оно существует, выражается в виде суммы бесконечного ряда, частная сумма которого выражается формулой (9.2). Однако, используя рекуррентную зависимость (9.3), можно записать соотношение (9.2) следующим образом –

Следовательно, очевидно предполагать, что решение уравнения (9.1) будет иметь вид –

(9.4)

где резольвентное ядро (резольвента), определяемое при помощи ряда

(9.5)

Резольвентное ядро связано с ядром интегральным уравнением –

Подробные сведения о сходимости решения уравнения Вольтерра первого и второго рода, а также нелинейных уравнений Вольтерра изложены в [35].

Интегральные уравнения Фредгольма.

Метод последовательных приближений. Ряд Неймана.

Метод последовательных приближений, использование которого для решения уравнений Вольтерра описано выше, применим и к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода -

(9.6)

Однако, решение, полученное таким путем, может оказаться только формальным, так как, если модуль параметра не будет достаточно малым, бесконечный ряд, представляющий резольвентное ядро, может стать расходящимся.

Как и ранее, полагаем –

(9.7)

Этот ряд называется рядом Неймана. Непосредственно находим, что –

где

(9.8)

или в общем виде

. (9.9)

Основное отличие по сравнению со случаем уравнения Вольтерра состоит в том, что ряд Неймана (9.7) или же ряд для резольвентного ядра

(9.10)

сходится теперь при достаточно малом .

Укажем без доказательства, что радиус сходимости решения уравнения Фредгольма ограничен первым собственным значением ядра .

Решение уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром.

Решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода покажем на примере уравнения (1.57)

(9.11)

с симметричным ядром .

Симметричность ядра в этом случае, как и для всех уравнений строительной механики, является следствием теоремы взаимности Бетти. Кроме того, ядра этих уравнений обладают свойством позитивности –

что обусловлено неотрицательностью работы системы на ее возможных перемещениях.

Симметричность ядра дает основание для представления его резольвентной функции в виде разложения в билинейный ряд –

(9.12)

по ортогональным вещественным функциям , удовлетворяющим условиям на краях интервала [a; b].

М.Д. Дольбергом [15] показано, что ряд (9.12) для резольвенты позитивного симметричного ядра сходится абсолютно и равномерно.

Напомним, что резольвентная функция, дающая решение уравнения в виде –

связана с ядром соотношением –

(9.13)

откуда с учетом (9.12) следует возможность представления резольвенты в виде также абсолютно и равномерно сходящегося ряда –

(9.14)

Для обеспечения быстрой сходимости функции разложения следует выбирать в виде –

где константы , , а функции составляют полную замкнутую систему.

В свою очередь –

где . .

В этих выражениях использованы обозначения первой главы.

Легко убедиться, что функции разложения резольвенты ортонормированы.

Обозначив конечную сумму ряда (9.12)

, (9.15)

и соответственно-конечную сумму ряда (9.14) через –

(9.16)

можно утверждать, что для приближенного значения резольвентной функции при замене ее выражения в виде ряда (9.12) конечной суммой r его членов (9.15) пригодна двусторонняя оценка погрешности –

. (9.17)

Действительно, при подстановке x=s в выражение резольвенты (9.12) все члены билинейного ряда становятся положительными, и замена его конечной суммой (9.15) приводит к тому, что приближенное значение резольвенты становится заведомо меньше истинного. Та же операция, проделанная с рядом (9.14), приводит к уменьшению вычитаемого в правой части выражения для резольвенты. Таким образом, разность ограничивает с двух сторон погрешность приближенного определения резольвенты, а следовательно и решения уравнения.

Приближенное определение первых n cобственных значений может быть произведено из условия –

.