9 Обработка результатов наблюдений и оценка погрешности

Оценку погрешности результата измерения выполняют при разработке МВИ. Источниками погрешности являются - модель ОИ, метод измерения, СИ, оператор, влияющие факторы условий измерений, алгоритм обработки результатов наблюдений. Как правило, погрешность результатов измерения оценивается при доверительной вероятности Р = 0,95. При выборе значения Р необходимо учитывать степень важности (ответственности) результата измерений. Например, если ошибка в измерении может привести к гибели людей или тяжелым экологическим последствиям значение Р должно быть увеличено.

В чем заключаются различия между систематической и случайной погрешностями и почему этому различию необходимо уделять особое внимание?

Принципиальное различие между этими погрешностями в отношении их влияния на результат измерений заключается в том, что систематическая погрешность делает измеренное значение неверным, а случайная погрешность – недостоверным и вносит в результат измерения элемент вероятностной неопределенности.

τ

Х_{ср ариф.}

σ_iв >σ_iб >σ_iв

е_с – систематическая погрешность;

е_f1, e_f2, e_f3 , - случайные погрешности для 3 – х наблюдений вариантов а, б, в.

Рисунок 9.1 - Числовая ось значений величины Х, характеризующей различие между систематической и случайной погрешностями.

Для каждого наблюдения будет следующая структура погрешности:

e₁ = e_c + (- e_{f 1} ); e₂ = e_c + (- e_{f 2} ) ; e₃ = e_c + ( + e_{f 3} ) ; /3/

σ_{i а} , σ_{i б} , σ_{i в} – обозначают СКО в других источниках литературы, в данном учебном пособии СКО обозначается как S(X).

9.1 Прямые измерения с многократными наблюдениями

Рассмотрим группу из «n» независимых результатов наблюдений случайной величины X , подчиняющейся нормальному закону распределения случайности событий при измерениях.

Доверительные границы НСП результата измерения _I (Р) вычисляют по формуле (9.1) /5/

, (9.1)

где К (Р) - коэффициент, определяемый принятой Р и числом m1 или N, согласно РМГ 29 – 99, составляющих НСП;

Θ_j - найденные нестатистическими методами границы j-ой составляющей НСП (границы интервала, внутри которого находится эта составляющая, определяемые при отсутствии сведений о вероятности ее нахождения в этом интервале)

при Р = 0,90 К(Р) = 0,95 , при Р = 0,95 К(Р) = 1,1 соответственно при любом числе слагаемых m_i.

Далее значения сведены в таблицу 9.1.

Таблица 9.1 - Значения К (Р) от m1 при Р = 0,99

При Р = 0,99 значения К(Р)
m1	К(Р)
2	1,2
3	1,3
4	1,4
5	1,45
6	1,45

Если составляющие НСП распределены равномерно и заданы доверительными границами Θj (P_j), то доверительную границу НСП результата измерения вычисляют по формуле (9.2) /5/

, (9.2)

где К(P) и К_j - те же, что и в предыдущем случае, коэффициенты, соответствующие доверительной вероятности Р и Р_j соответственно;

m_j - число составляющих НСП.

Этими действиями анализируется применяемые СИ.

Далее приступают к обработке случайной погрешности по результатам наблюдений.

Обработку результатов в этом случае рекомендуется начать с проверки на отсутствие промахов (грубых погрешностей). Промах - это результат Хn отдельного наблюдения, входящего в ряд из n наблюдений, который для данных условий измерений резко отличается от остальных результатов этого ряда. Если оператор в ходе измерения обнаруживает такой результат и достоверно находит его причину, он вправе его отбросить и провести (при необходимости) дополнительное наблюдение взамен отброшенного.

При обработке уже имеющихся результатов наблюдений произвольно отбрасывать отдельные результаты нельзя, так как это может привести к фиктивному повышению точности результата измерения. Поэтому применяют следующую процедуру. - вычисляют среднее арифметическое Х результатов наблюдений Хi по формуле (9.3) /5/

, (9.3)

Затем по формуле (9.4) вычисляют оценку СКО результата наблюдения /5/

(9.4)

По формуле (9.5) находят отклонение n предполагаемого промаха Хn от Х /5/

(9.5)

По числу всех наблюдений n (включая Хn) и принятому для измерения значению Р (обычно 0,95) по таблице 9.2 – находят Z_(P,n) = 1,96 - значение Лапласа - нормированное выборочное отклонение нормального распределения. Если _n < Z_(P,n) S(X), то наблюдение X_n не является промахом; если _n  Z_(P,n)  S(X), то X_n - промах, подлежащий исключению. После исключения X_n повторяют процедуру определения Х и S(X) для оставшегося ряда результатов отклонений от нового значения X (вычисленного исходя из (n - 1)). Почему (n – 1), а не n мы рассматривать не будем, т.к. это вопрос теоретической метрологии. За результат измерения принимают среднее арифметическое Х результатов наблюдений Х_n. Погрешность Х_i содержит случайную и систематическую составляющие. Случайную составляющую, характеризуемую СКО результата измерения, оценивают по формуле (9.6) /5/

, (9.6)

В предположении принадлежности результатов наблюдений X_i к нормальному распределению, находят доверительные границы случайной погрешности результата измерения при доверительной вероятности Р по формуле (9.7) /5/

(9.7)

где t - коэффициент Стьюдента.

Таблица 9.2 - Значения t при P равной

n	Р=0,70	Р=0,90	Р=0,95	Р=0,997
2	1,963	6,314	12,706	212,2
3	1,386	2,920	4,303	18,216
4	1,250	2,353	3,182	8,891
5	1,190	2,132	2,776	6,435
6	1,156	2,015	2,571	5,376
7	1,134	1,943	2,447	4,800
8	1,119	1,895	2,365	4,442
9	1,108	1,860	2,306	4,199
10	1,100	1,833	2,262	4,024
15	1,076	1,761	2,145	3,583

Доверительные границы (Р) НСП результата измерения с многократными наблюдениями определяют точно так же, как и при измерении с однократным наблюдением - по формулам (9.2) или (9.3).

Суммирование систематической и случайной составляющих погрешности результата измерения при вычислении (Р) рекомендуется осуществлять с использованием критериев и формул (9.9), (9.10) и (9.11), в которых при этом S(X) заменяется на

СКО результата измерения с однократным и многократным наблюдением вычисляют одним из следующих способов:

1.Если в технической документации на СИ или в МВИ, указаны нормально распределенные составляющие случайной погрешности результата наблюдения (инструментальная, методическая, из-за влияющих факторов, оператора и т.д.), то СКО вычисляют по формуле (9.9) /5/

, (9.9)

где m2 - число составляющих случайной погрешности;

S_j - значения СКО этих составляющих.

Доверительную границу случайной погрешности результата измерения

 (Р) в этом случае вычисляют по формуле (9.10) /5/

(9.10)

где Z_p/2 - значение нормированной функции Лапласа в точке р/2 при доверительной вероятности Р приведены в таблице 9.3.

Таблица 9.3. - Значения функции Лапласа от Р

Р	Zp/2
0,90	1,65
0,95	1,96
0,96	2,06
0,97	2,17
0,98	2,33
0,99	2,58

2. Если в тех же документах случайные составляющие погрешности результата наблюдения представлены доверительными границами _j (Р) при одной и той же доверительной вероятности Р , то доверительную границу случайной погрешности результата измерения при доверительной вероятности Р вычисляют по формуле (9.11) /5/

, (9.11)

3. Если случайные составляющие погрешности результата наблюдения определяют предварительно в реальных рабочих условиях экспериментальными методами при числе наблюдений n_j < 30, то доверительную вероятность Р вычисляют по формуле 9.12 /5/

(9.12)

где t - коэффициент Стьюдента, соответствующий наименьшему числу наблюдений n min из всех n;

S_j(X)-оценки СКО случайных составляющих погрешности результата наблюдения, определяемых по формуле (9.13), на отсутствие промахов.

Если в эксперименте невозможно или нецелесообразно определить СКО составляющих случайной погрешности и определенно сразу суммарное СКО, то в формуле (9.7) доверительной границы 3-го случая m 2 = 1.

4. Если случайные составляющие погрешности результата наблюдений представлены доверительными границами (Р), соответствующими разным Р, то сначала определяют СКО результата измерения по формуле (9.13) /5/.

, (9.13)

Затем вычисляют  (Р) по той же формуле (9.5) первого случая, где Z_p/2 - значения функции Лапласа.

Z

S(X) - С К О отдельных наблюдений.

На основании нижеследующей оценки делается вывод о количестве наблюдений - однократные или многократные измерения.

Для суммирования систематической и случайной составляющей погрешностей рекомендуется следующий способ /5/.

Если

(9.14)

то НСП (Р) пренебрегают, так как она стремится к нулю и окончательно принимают Є(Р) за погрешность результата измерения  при доверительной вероятности Р. Таким образом  = Є(Р) = Z_p/2 · S(X);

Если _i (P) / S(X) > 8 , то измерения являются, как правило, однократными (_I (P) - граница НСП результата измерений). Таким образом,

если:

, (9.15)

то пренебрегают случайной погрешностью СКО – S(X), которая стремится к нулю, и принимают  (Р) =  (Р). Это характеризуется высокой точностью выбора средства измерения с включением его в технологисекий процесс и применяется в основном в технологиях массового производства продукции на каждом рабочем месте, а также контролируется службами ОТК и СМК.

Если соотношение НСП и СКО будут иметь такой интервал:

(9.16)

то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по следующей комплексной формуле (9.17) /5/

, (9.17)

где

В квадратных скобках К(Р), при определении величины «γ» принимается по таблице 9.4 от формулы (9.2).

По вычисленному значению в приведенной таблице находят значения

Если вычисленные по формуле и таблице значения К_Σ(γ), не совпадают, то проводят эстрополяцию между этими значениями.

Таблица 9.4 - Значения K_() от показателя γ

	0	0,3	0,5	0,7	1,0	1,5	2,0	3,0	4,0	5,0	
()	1,00	0,8	0,75	0,7	0,71	0,7	0,75	0,79	0,8	0,85	1,00

При увеличении числа наблюдений - n , СКО - (среднеквадратичное отклонение) случайной погрешности результата измерений S(X) уменьшается по закону обратной пропорциональности - .

Этим руководствуются при выборе n для разумного уменьшения S(Х), например, по сравнению с НСП результата измерений , не зависящей от n (до выполнения условия _i / S(Х)  8 , дальнейшее увеличение n не имеет смысла). Как правило, выбор числа наблюдений производится при разработке МВИ.

Для обеспечения качества производства в цехах предприятия должна быть правильно оформленная технология измерений. С июня 1997 года в Российской Федерации действует ГОСТ Р 8.563-96 «ГСИ. Методики выполнения измерений». Согласно этого стандарта, каждый параметр или размер должен быть оформлен по требованиям вышеуказанного стандарта под названием «Методика выполнения измерений» как новый стандарт и аттестован органами, аккредитованными институтами Госстандарта Российской Федерации. В сфере производства различных предприятий содержится большое количество параметров, подлежащих измерениям и контролю, и если все измерения оформлять методиками выполнения измерений строго по вышеуказанному стандарту, то их количество будет загромождать перечислением их в технологическом процессе отдельными списками. На все ли параметры необходимо иметь документированную методику выполнения измерений строго по требованиям ГОСТ Р 8.563 – 96? В тексте самого ГОСТа есть фраза, которая, отвечая на этот вопрос, отмечает, что не все измерения должны иметь документированную МВИ, разработанную и утверждённую по вышеуказанному ГОСТу. Из формулы (9.15) рассмотрено соотношение, которое иллюстрирует однократность измерений и далее рассматривается в разделе 9.2 Прямые измерения с однократными наблюдениями. В журнале «Главный метролог» № 6 2013 года в статье В.А. Брюханова достаточно подробно рассматривается вопрос о противоречиях и дискуссиях относительно закона «Об обеспечении единства измерений», ГОСТ Р 8. 563-09 и термина точность измерений. В пункте 3.4 ГОСТ 8.563-09 есть текст о точности измерений. «Показатель точности измерений: установленная характеристика точности любого результата измерений, полученного при соблюдении требований и правил данной методики». Методики, читай МВИ по ГОСТу. А если МВИ не требуется как НД? Тогда как? Вопросы возникают сразу у любого студента или обучающегося, не имеющего производственного опыта технологических или лабораторных измерений. А в настоящее время такие вопросы могут возникнуть и у действующих молодых технологов и конструкторов на предприятиях. Что надо понимать под «характеристикой точности»? Какой смысл вкладывается в слово «установленная»? Кем, когда и на каком основании устанавливается «характеристика точности любого результата измерений»? Что же это такое «показатель точности измерений»? Любой метролог, имеющий большой стаж производственной и преподавательской деятельности, из своего опыта точно знает, что термин «точность измерений» имеет качественный оттенок, и он показывает насколько близок результат измерений к действительному значению измеряемой величины. В старом и отменённом ГОСТ 16263-70 давалось следующее определение этого термина: «Точность измерений – качество измерений, отражающее близость их результата к истинному значению измеряемой величины». В международном словаре в области метрологии есть аналогичное определение: «Точность измерений – степень близости результата измерений к истинному значению измеряемой величины». На страницах журнала «Советник метролога» В.А. Брюханов в своей статье призвал метрологов и заинтересованных в метрологии работников дать ответы на анкетный опрос по перечню показателей измерений. Читатели журнала выбрали варианты ответов на вопрос о том, какие же из них следует относить к показателям точности измерений. Вариантв ответов выглядели следующим образом:

А) погрешность измерений;

Б) границы, в которых погрешность измерений находится с заданной вероятностью;

В) среднее квадатическое отклонение погрешности;

Г) среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности измерений;

Д) сходимость результатов измерений;

Е) воспроизводимость результатов измерений;

Ж) среднее квадратическое отклонение систематической составляющей погрешности измерений;

З) границы, в которых неисключённая систематическая составляющая погрешности измерений находится с заданной вероятностью;

И) стандартная неопределённость измерений по типу А;

К) стандартная неопределённость измерений по типу Б;

Л) суммарная стандартная неопределённость измерений;

М) расширенная неопределённость измерений;

Н) прецизионность измерений.

Рссматривая все эти варианты и отбрасывая несоответствия, журнал «Главный метролог» № 6 за 2013 год в статье В.А. Брюханова даёт рекомендацию: Показатели точности измерений:

1 По концепции погрешности измерений:

1.1 Границы, в которых погрешность измерений находится с заданной вероятностью (интервальная характеристика);

1.2 Среднее квадратическое отклонение погрешности (точечная характеристика);

2 По концепции неопределённости измерений:

2.1 Расширенная неопределённость измерений для заданной вероятности (интервальная характеристика);

2.2 Суммарная стандартная неопределённость измерений (точечная характеристика).