49. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции. Критерий существования точек экстремума

Дана функция  , определенная и непрерывная на некотором промежутке  . Требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функции на этом промежутке.

Теоретические основы. Теорема (Вторая теорема Вейерштрасса):

Если функция   определена и непрерывна в замкнутом промежутке  , то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений.

Функция может достигать своих наибольших и наименьших значений либо на внутренних точках промежутка, либо на его границах. Проиллюстрируем все возможные варианты.

Пояснение: 1) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке   , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке  . 2) Функция достигает своего наибольшего значения в точке   (это точка максимума) , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке  . 3) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке   , а своего наименьшего значения в точке   (это точка минимума). 4) Функция постоянна на промежутке, т.е. она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой. 5) Функция достигает своего наибольшего значения в точке  , а своего наименьшего значения точке  (несмотря на то, что функция имеет на этом промежутке как максимум, так и минимум). 6) Функция достигает своего наибольшего значения в точке   (это точка максимума), а своего наименьшего значения в точке  (это точка минимума). Замечание:

«Максимум» и «максимальное значение» — разные вещи. Это следует из определения максимума и интуитивного понимания словосочетания «максимальное значение».

Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция   имеет экстремум в точке  , то ее производная   либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю:  , называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения  ), либо это точки, в которых производная   не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки  ;

2.  или   не существует;

3. производная   при переходе через точку   меняет свой знак.

Тогда в точке   функция   имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная   при переходе через точку   не меняет знак, то экстремума в точке   нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию   на экстремум, необходимо:

1. найти производную  ;

2. найти критические точки, то есть такие значения  , в которых   или   не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.