11. Другие способы интегрирования иррациональностей
12. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические ф-ции
Интегралы
вида 
,
где 
рациональная
функция от u и v.
Интегралы
указанного вида сводятся к интегралам
от рациональной функции новой переменной
t с помощью подстановки 
,
которую называют универсальной
тригонометрической подстановкой. При
этом используются формулы тригонометрии 
Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому чаще применяются другие подстановки.
2.
Подынтегральная функция 
удовлетворяет
условию
(1)
или условию
.
(2)
Тогда
можно использовать
подстановку 
, 
или 
, 
соответственно.
Смотри пример
2 .
3.
Подынтегральная функция
удовлетворяет
условию
.
Это условие выполняется в частности
для функций, содержащих только четные
степени 
и 
В
этом случае часто применяют замену
переменной 
,
где
или 
,
где
.При
этом, так как 
или 
,то 
.
Функции
и
выражаются
через t с помощью тригонометрических
формул 
и 
.
Смотри пример
3 .
4.
Вычисление интегралов вида 
,
где m и n ? целые числа.
В этом случае полезно пользоваться следующими правилами:
А) если m - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или применяем подстановку . Сравни с 1. Смотри пример 4 .
Б)
если оба показателя m и n - четные
положительные числа, то подынтегральную
функцию преобразуют с помощью формул
понижения степени: 
, 
и 
.
Смотри пример
5 .
В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной или . Смотри пример 6 .
Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества. Смотри пример 7 .
Примечание. В общем случае интегралы вида , где m и n - целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путем интегрирования по частям.
5.
При вычислении интегралов вида 
или 
где
m - натуральное число, 
используют
тригонометрические формулы 
или,
соответственно, 
.
Смотри пример
8 .
6.
Интегралы вида 
, 
, 
.
Для вычисления интегралов указанного вида применяют тригонометрические формулы:
13. Тригонометрические подстановки
В
данной секции мы рассмотрим вычисление
интегралов вида 
,
где R -
рациональная функция x и
квадратного корня 
.
Предварительно
преобразуем квадратичную функцию под
знаком корня, выделив в ней полный
квадрат:
Выполнив
замену 
,
мы получим один из следующих 3 интегралов
в зависимости от значений коэффициентов a,
b и с:
Каждый из этих трех интегралов вычисляется с помощью специальных тригонометрических или гиперболических подстановок.
1. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
2. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
3. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
14. неберущиеся интегралы
Определенный интеграл
1.Определенные интегралы (интеграл Римана).
Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [a, b]. Разобъем этот интервал на n частичных интервалов точками
a = x0<x1<x2< ... <xn = b.
Выберем
в каждом из частичных интервалов по
произвольной точке
и
составим сумму (интегральная сумма)
.
Если
существует предел интегральной суммы
при стремлении к нулю длины наибольшего
частичного интервала разбиения:
,
то функция f(x)
называется интегрируемой
в смысле Римана
на интервале [a,
b].
Предел этой суммы
называется
определенным
интегралом
от f(x)
по
интервалу
[a,
b]
в
смысле Римана
(интеграл
Римана).
Это определение означает, что для любого
положительного числа
существует
такое число
,
что при любом разбиении интервала [a,
b]
на частичные интервалы, длины которых
меньше
.
и
при любом выборе промежуточных точек
выполняется
неравенство
Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а a и b - пределами интегрирования.
2. Суммы Дарбу и их свойства.
Пусть
функция
,
определённая на отрезке
,
ограничена на этом отрезке и пусть
-
разбиение отрезка
,
(i=1,n).
Обозначим
,
,
,
.
(5)
Назовём
и
соответственно
верхней и нижней суммами Дарбу для
функции
при
заданном разбиении
отрезка
.
Заметим, что эти суммы не зависят от
выборки
.
Рассмотрим свойства сумм Дарбу.
С в о й с т в о 1. Для любой выборки справедливы неравенства
.
(6)
○ Так
как для любого
,
выполняются неравенства
то
Складывая эти неравенства, получаем
.
(7)
Согласно
определению сумм Дарбу и интегральной
суммы
утверждения
(7) и (6) равносильны. ●
С в о й с т в о 2. Спараведливы равенства
,
(8)
.
(9)
С
в о й с т в о 3. Если разбиение
-
продолжение разбиения
,
то
(10)
т.е. при измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.
С
в о й с т в о 4. Для любых разбиений
и
справедливо
неравенство
С в о й с т в о 5. Существуют числа
,
Удовлетворяющие
для любых разбиений
и
отрезка
условию
(12)
Эти числа называют соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу от функции на отрезке .
3. Условия существования определенного интеграла
Определение.Функция
,
для которой на отрезке [a;
b]
существует определенный интеграл,
называется интегрируемой на этом
отрезке.
Теорема 1.Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.
Сформулируем и более общую теорему об интегрируемости.
Теорема 2.Если функция ограничена на [a; b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.