Формулировка теоремы Безу

Теорема

Остаток от деления многочлена   на двучлен   равен   .

Следствия из теоремы Безу

1. Число   - корень многочлена   тогда и только тогда, когда   делится без остатка на двучлен   .

Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена   тождественно множеству корней соответствующего уравнения   .

2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).

3. Пусть   - целый корень приведенного многочлена   с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого  число   делится на   .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше: если  , то заданный многочлен   можно представить в виде:

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена  , степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни заданного многочлена.

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Следствие 1. Любой многочлен   степени   с комплексными коэффициентами   можно представить в виде произведения линейных двучленов:

(B.13)

где   — корни многочлена кратности   соответственно, причем  . Другими словами, многочлен n-й степени имеет ровно   корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 2. Если многочлены   и  , степени которых не превосходят  , имеют равные значения более чем при п различных значениях переменной  , то эти многочлены равны:  .

В самом деле, по условию многочлен   имеет более, чем   корней, хотя его степень меньше или равна  , что противоречит следствию 1 из основной теоремы алгебры. Следовательно, это многочлен нулевой степени  . Так как он имеет корни, то  . Следовательно,  , то есть  .

Это следствие позволяет рассматривать многочлен   не как формальное выражение вида (В.8), а как функцию переменной  , поскольку равенство многочленов  , определенное выше как равенство коэффициентов при одинаковых степенях  , совпадает (в силу следствия 2) с понятием равенства   двух функций при всех значениях  .

Рассмотрим многочлен   с действительными коэффициентами  . Разложение (В. 13) для этого многочлена имеет вид

где   — корни многочлена (могут быть комплексные).

Если комплексное число   является корнем этого многочлена, то есть

то сопряженное число   также является его корнем, т.е.  . Это вытекает из равенства  . Поскольку числа   и   не являются корнями многочлена, то он делится (без остатка) на произведение

Так как сумма   и произведение   сопряженных чисел являются действительными числами, то правая часть последнего равенства есть квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Причем, если  , то дискриминант этого квадратного трехчлена отрицательный.

Следствие 3. Если комплексное (но не действительное) число   — корень многочлена   с действительными коэффициентами, то сопряженное число   является его корнем той же кратности.

В самом деле, если   — корень кратности  , то для него выполняются условия (В.12)

Из условий 

следует, что   — корень той же кратности  .

Следствие 4. Всякий многочлен   с действительными коэффициентами представляется в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов (с отрицательными дискриминантами):

(B.14)

где   — действительные корни кратности  , причем  .

Следствие 5. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Многочлен четной степени с действительными коэффициентами может не иметь действительных корней (при этом в разложении (В. 14) отсутствуют линейные двучлены  ).