42. Теоремы о дифференцируемых функциях. Определение локального экстремума. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.

Основные теоремы дифференциального исчисления.  Теорема Ферма

Теорема

Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной)

Пусть функция   удовлетворяет следующим условиям:

1. она дифференцируема на интервале  ;

1. достигает наибольшего или наименьшего значения в точке  .

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть  .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке  ;

2. дифференцируема на интервале  ;

1. на концах отрезка   принимает равные значения  .

2. Тогда на интервале   найдется, по крайней мере, одна точка   , в которой  .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.Если  , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке  ;

1. дифференцируема на интервале  .

Тогда на интервале   найдется по крайней мере одна точка   , такая, что

Замечание

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда  .

43. Теорема о возрастании функции. Постоянство функции. Теорема Коши

 Теорема о возрастании функции. Дифференцируемая и возрастающая в интервале ( a, b )функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.   Доказательство. Так как функция f (x) возрастает в интервале ( a, b ), то знаки у приращений x и y в любой точке этого интервала одинаковы. Следовательно отношение  положительно, а потому и производная   будет положительна или равна нулю в интервале ( a, b ), так как отношение   как положительная величина может стремиться или к положительному числу или к нулю

Условие постоянства функции

Производные являются мощным средством исследования функций. Все дальнейшее в этом разделе посвящено именной этой теме.

Теорема. Пусть   определена и непрерывна на промежутке  Для того, чтобы она была равна константе необходимо и достаточно, чтобы  .

Доказательство.

Необходимость. Пусть  . Но тогда  .

Достаточность. Пусть  . Возьмем две любые точки  . Тогда по формуле Лагранжа

т.е. . Так как это верно для любых   и   то отсюда следует, что 

 (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)

непрерывны на отрезке [a, b];

дифференцируемы в интервале (a, b);

x  (a, b) g'(x) ≠ 0 .

Тогда существует точка c  (a, b) такая, что

 

(3)

Формула (3) называется формулой Коши.

44. Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя

Раскрытие неопределенностей

Неопределенности типа  Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что В этом случае говорят, что функция   имеет неопределенность типа   в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция   содержит неопределенность  , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.  Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя.  Неопределенности типа  Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция   имеет в точке a неопределенность типа  . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.  Неопределенности типа  Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа   и  .  Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность  типа   или  .  Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности. Если   и  , то  ; Если   и  , то аналогично  . Это правило впервые упоминалось в книге по дифференциальному исчислению, опубликованной в 1696 (!) году французским математиком ГийомомЛопиталем (1661- 1704). Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа  . Первые две неопределенности   можно свести к типу   или   с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности   сводятся к типу   с помощью соотношения Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.