1.Комплексные числа. Сложение и вычитание, умножение и деление кч. Возведение в степень и извлечение корня.

Комплексные числа  записываются в виде:  a+ bi. Здесь  a и  b – действительные числа, а  i – мнимая единица, т.e.  i ² = –1. Число  a называетсяабсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+ bi. Два комплексных числа  a+ bi и  a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Сложение.  Суммой комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di  называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложениикомплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

 

Вычитание.  Разностью двух комплексных чисел  a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

 

Умножение.  Произведением комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

 

  1)  числа  a+ bi  и  c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

  2)  число i  обладает основным свойством:  i ² = –1.

Деление. Разделить комплексное число  a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число  e+ f i  (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di,  даёт в результате делимое  a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

Возведение в степень:

,

где n – целое положительное число.

(Отметим, что перемножать, делить и возводить в степень часто удобнее, когда комплексное число задается в тригонометрической или показательной форме)

Извлечение корня из комплексного числа

Определение

Корнем  -ой степени из комплексного числа   называется такое комплексное число  ,  -я степень которого равна  , то есть

Корень  -ой степени из комплексного числа   обозначается символом   и на множестве комплексных чисел имеет ровно   значений.

Если комплексное число   задано в тригонометрической форме:  , то все значения корня  -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик):

Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса   с центром в начале координат и образуют правильный  -угольник.

2.Показательная функция. Формулы Эйлера. Логарифм комплексного числа Показательная функция

Функцию вида y=a^x, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.

• Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.

• Область значений показательной функции: E (y)=R₊ - множество всех положительных чисел.

• Показательная функция  y=a^x возрастает при a>1.

• Показательная функция y=a^x убывает при 0<a<1.

Справедливы все свойства степенной функции:

• а⁰=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

•  а¹=а  Любое число в первой степени равно самому себе.

•  a^x∙a^y=a^x+y   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

•  a^x:a^y=a^x- y  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

• (a^x)^y=a^xy   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают

•  (a∙b)^x=a^x∙b^y   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

• (a/b)^x=a^x/b^y  При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

•   а^-х=1/a^x

•  (a/b)^-x=(b/a)^x.

•  Формула Эйлера

Формула Эйлера устанавливает взаимосвязь между экспоненциальной функцией   и тригонометрическими функциями   и   на множестве комплексных чисел:   . (1)   Доказательство формулы Эйлера основано на представлении этих функций в виде степенных рядов и при первом чтении может быть опущено без ущерба для понимания последующего изложения.        Заметим, что   и   представляют собой соответственно вещественную и мнимую части экспоненциальной функции  :   .  (2)         Выполним в формуле Эйлера замену  :   (3)   Выполнив почленное сложение и вычитание выражений в обеих частях равенств (1) и (3), получим   что влечет   .  (4)         Таким образом, тригонометрические функции   и   представлены в виде линейных комбинаций экспоненциальных функций   и  .        Тангенс аргумента φ выражается через  : Логарифм комплексного числа