37. Производная обратной функции

( Теорема О производной обратной функции)

Если функция   непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки   и дифференцируема в этой точке, то обратная функция   имеет производную в точке  , причем   .

Производная обратной функции

Рассмотрим функцию f(x), которая является строго монотонной на некотором интервале (a, b). Если в этом интервале существует точка x0, такая, что f '(x0) ≠ 0, то функция x = φ(y), обратная к функции y = f(x), также дифференцируема в точке y0 = f(x0) и ее производная равна Докажем приведенную теорему о производной обратной функции.  Пусть переменная y получает в точке y0 приращение Δy ≠ 0. Соответствующее ему приращение переменной xв точке x0 обозначим как Δx, причем Δx ≠ 0 в силу строгой монотонности функции y = f(x). Запишем отношение приращений в виде Допустим, что Δy → 0. Тогда Δx → 0, поскольку обратная функция x = φ(y) является непрерывной в точке y0. В пределе, при Δx → 0, правая часть записанного соотношения становится равной В таком случае левая часть также стремится к пределу, который по определению равен производной обратной функции: Таким образом, то есть производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции.  В приведенных ниже примерах найти производную заданной функции y = f(x) с помощью производной обратной функции x = φ(y).

Пример 1

Решение. Определим сначала обратную функцию для заданной функции  . Для этого выразим переменную xчерез y:        По теореме о производной обратной функции можно записать:        Теперь вместо y подставляем  . В результате получаем выражение для производной заданной функции:

Пример 2

y = arcsin x. Решение. Функция арксинус является обратной к функции синус. Поэтому  x = φ(y) = sin y.  Тогда производная арксинуса равна        где  −1 < x < 1.

38. Производная и дифференциал сложной функции

    Пусть функция  y = f(x) задана в некоторой окрестности U = U(x₀) точки x₀, а функция z = g(y) - в некоторой окрестности V = V(y₀) точки y₀ = f(x₀), причем f(U)  и, следовательно, определена сложная функция

F(x) = g(f(x)).

    Теорема 5. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x₀, а функция z = g(y) имеет производную в точке y₀ = f(x₀), то сложная функция z = F(x) = g(f(x)) также имеет в точке x₀производную, причем

F'(x0) = g'(y0)f'(x0),

(10.28)

или, опуская значение аргумента,

z'x = z'yy'x.

(10.29)

Пусть, как всегда,  x = x - x₀,  y = y - y₀,  и  z = g(y) - g(y₀); тогда в силу дифференцируемости функции g в точке y₀ будем иметь (см. y =  f'(x₀) x + o( x) x.     X 0,)

z =  g'(y0) y +  ( y) y,     ( y) = 0.

(10.30)

Поскольку функция y = f(x) непрерывна при x = x₀, то   y = 0 и, следовательно, в силу теоремы о пределе сложной функции (см. (y) = z₀,) имеем

( y) = 0.

(10.31)

Поделив обе части первого равенства (10.30) на  x 0, получим

z/ x = g'(y0)( y/ x) +  ( y)( y/ x).

(10.32)

В силу равенств (10.31) и  y/ x) = f'(x₀) предел правой части равенства (10.32) при  x 0 существует и равен g'(y₀)f'(y₀), следовательно, существует и предел левой части, т. е. существует

F'(x₀) =  ( z/ x),

причем

F'(x₀) = g'(y₀)f'(x₀).   

    Следствие (инвариантность формы дифференциала).

dz = F'(x0)dx = g'(y0)dy,

(10.33)

или, короче,

dz = z'_xdx = z'_ydy.

    Эта формула показывает, что формально записи дифференциала сложной функции посредством независимой переменной x и посредством зависимой переменной y имеют один и тот же вид, но следует иметь в виду, что здесь dx =  x - приращение независимой переменной x, a dy - дифференциал функции y = f(x), т. е. главная линейная часть приращения  y зависимой переменной ("главная" в том смысле, что разность  y - dy является при △x0 бесконечно малой более высокого порядка, чем само  x).      Докажем формулу (10.33):

dz = dF(x0)	=	F'(x0)dx	=	g'(y0)f'(x0)dx	=	g'(y0)dy.
	(10.13)		(10.28)		(10.13)

    Пример. Вычислим производную функции y = x^a, x > 0, a   R, c помощью формулы (10.28). Для этого представим функцию y = x^a как композицию функций y = e^u и  u = ln x. Заметив, чтоdy/du = e^u, du/dx = a/x, получим

(x^a)' = (x^aln x)' = (e^u)'_uu'_x = e^ua/x = e^aln xa/x = x^aa/x = ax^a-1,

т. е.

(xa)' = axa-1.