41. Производная и дифференциал высших порядков. Формула Лейбница.
Пусть в интервале (a, b) задана функция f(x) и в каждой точке x (a, b) существует производная f '(x). Таким образом в интервале (a, b) задана функция y =f '(x) .
Если первая производная функция y = f '(x) дифференцируема в интервале (a, b), то ее производная называется второй производной функции f(x).
Вторая производная обозначается символами f ''(x) или
d2 f |
dx2 |
Вообще, производной n–го порядка функции f(x), называется производная от производной функции f(x) (n − 1)–го порядка. Производная n–го порядка обозначается f(n) (x).
Замечание. Если речь идет о производной n–го порядка ( n = 2, 3, … ) в фиксированной точке x0, то для существования f(n) (x0) необходимо существованиеf(n − 1) (x) не только в точке x0, но и в некоторой ее окрестности. При этом условии
Функция, имеющая в точке производную n–го порядка, называется n раз дифференцируемой в этой точке.
Функция, имеющая в точке производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке.
Формулы для производных n–го порядка суммы и произведения функций
Если функции u(x) и v(x) n раз дифференцируемы на некотором промежутке, то производная n–го порядка суммы определяется формулой
|
( u + v )(n) = u(n) + v(n) , |
|
а производная n–го порядка произведения определяется формулой Лейбница
|
( u · v)(n) = u(n) · v + n u(n −
1) · v'
+
u(n − 2) · v'' + … + u · v(n) . |
|
Формула Лейбница может быть записана в виде
|
(u · v)(n) =
Cnk · u(n − k) v(k) , |
|
где u(0) = u(x), v(0) = v(x) и Cnk =
—
биномиальные коэффициенты.
Дифференциалы высших порядков
Пусть в интервале (a, b) задана дважды дифференцируемая функция y = f(x), где x — независимая переменная.
Фиксируем приращение dx = Δx независимой переменной x, т.е. будем считать первый дифференциал
|
dy = f'(x) dx |
(1) |
функцией только переменной x.
Дифференциал от первого дифференциала, при условии, что повторное приращение независимой переменной x совпадает с первоначальным, называетсявторым дифференциалом функции f(x) в точке x и обозначается d2 f(x).
Дифференцируем выражение в правой части (1) как произведение
d2 f(x) = d (df(x) ) = d (f'(x) dx) = f''(x) dx · dx + f'(x) · d(dx) . |
|
Учитывая, что d (dx) = 0, получаем формулу для вычисления второго дифференциала
|
d2 f(x) = f ''(x) dx2 . |
(2) |
Пусть в интервале (a, b) функция f(x) имеет производные до n–го порядка включительно.
Дифференциалом n–го порядка называется дифференциал от дифференциала (n − 1)–го порядка
|
dn f(x) = d (d(n − 1) f(x)). |
|
Формула для вычисления дифференциала n–го порядка
|
dn f(x) = f(n) (x) dxn . |
|
Неинвариантность формы дифференциала порядка выше первого
Рассмотрим случай, когда х является не независимой переменной, а функцией от другой переменной
|
y = f(x), x = (u). |
|
В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем
|
dy = f '(x) dx. |
(3) |
Теперь в правой части формулы (3) от переменной u зависит не только функция f(x), но и дифференциал dx . Следовательно
|
dx = '(u) du, d2 x = ''(u) du2 . |
|
Таким образом, в общем случае
|
d2 y = f''(x) dx2 + f'(x) d2 x. |
(4) |
Сравнивая формулы (2) и (4), убеждаемся, что дифференциалы второго (и более высоких порядков) не обладают инвариантностью формы.