8.Вещественные полиномы. Разложение полинома на множители первой и второй степени.

Выражения вида называются многочленами от x степени n (a_n ≠ 0) с действительными коэффициентами, если a_i, i = 0,1,2,...,n - действительные числа. Как известно, если комплексное число   – корень многочлена, то обязательно и комплексно сопряженное ему число   является корнем многочлена. Поэтому их произведение представляет собой квадратичное выражение.

Таким образом, любой многочлен с действительными коэффициентами всегда можно представить в виде произведения линейных и квадратичных множителей где  , а x₁, ..., x_s - действительные корни многочлена. То есть, если известны все корни многочлена с действительными коэффициентами, то можно сразу написать его разложение на множители.

Подбор корней многочлена.

В общем случае найти корни многочлена степени n довольно сложная задача, но можно попытаться найти хотя бы один корень x₀. Разделив исходный многочлен на одночлен x-x₀, мы получим многочлен степени n-1. Тем самым мы упростили исходную задачу, так как раскладывать на множители теперь надо многочлен степени n-1. Например, для многочлена третьей степени после деления на x₀ мы получим многочлен второй степени, корни которого найдем, просто решив квадратное уравнение. Существенную помощь в подборе рациональных корней многочлена может оказать следующая теорема. Теорема. Если многочлен a(x)= a_n*xⁿ + a_n-1*x^n-1 + a_n-2*x^n-2 + ... + a₁*x + a₀, a_n ≠ 0 c целыми коэффициентами имеет рациональный корень x₀ = 

p/q

 (причем эта дробь несократима), то p – делитель свободного члена a₀, а q – делитель старшего коэффициента a_n. Из этой теоремы следует, что если старший коэффициент равен единице, то целые корни многочлена следует искать только среди делителей свободного члена.

9. Зависимость между корнями алгебраического уравнения и его коэффициентами

Виета теорема — установленная Ф. Виетом теорема: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену

Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения

Свойства корней квадратного уравнения.

Дискриминант. Теорема Виета.

 

    Формула корней неприведенного квадратного уравнения:

показывает, что возможны три случая:              1)  b 2 – 4 a c > 0 ,  тогда имеются два различных корня;              2)  b 2 – 4 a c = 0 ,  тогда имеются два равных корня;              3)  b 2 – 4 a c < 0 ,  тогда имеются два комплексных корня.   Выражение  b 2 – 4 a c, от значения которого зависит, какой случай имеет место, называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через D.   Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px+ q = 0 равна коэффициенту при первой степени неизвестного, взятому с обратным знаком:                                                     x1 +  x2 = – p ,   а произведение равно свободному члену:   x1 ·  x2 =  q .   Для доказательства теоремы Виета достаточно воспользоваться формулой корней приведенного квадратного уравнения.